Polinomial Bernstein–Sato

Dalam matematika, polinomial Benstein–Sato adalah polinomial yang berkaitan dengan operator diferensial. Polinomial ini diperkenalkan oleh Joseph Bernstein (1971) dan Mikio Sato and Takuro Shintani (1972, 1974), (Sato 1990). Polinomial ini juga dikenal sebagai fungsi-b, polinomial-b dan polinomial Bernstein, walaupun tidak terkait dengan polinomial Bernstein yang digunakan dalam teorema aproksimasi. Polinomial ini dapat diterapkan pada teori singularitas, teori monodromi, dan teori medan kuantum.

Definisi dari polinomial Benstein–Sato mengatakan bahwa jika ${\displaystyle f(x)}$ adalah polinomial di setiap variabel, maka ada polinomial taknol ${\displaystyle b(s)}$ dan ada operator diferensial ${\displaystyle P(s)}$ dengan koefisien polinomial sehingga

${\displaystyle P(s)f(x)^{s+1}=b(s)f(x)^{s}.}$

Polinomial Bernstein-Sato adalah polinomial monik dengan derajat terkecil di antara setiap polinomial ${\displaystyle b(s)}$. Keberadaannya dapat diperlihatkan dengan menggunakan gagasan holonomik modul-D.

• Jika ${\displaystyle f(x)}$ adalah polinomial bukan negatif maka ${\displaystyle f(x)^{s}}$, maka definisi pada awalnya untuk ${\displaystyle s}$ dengan bagian bilangan real taknegatif, dapat dilanjutkan secara analitis menjadi fungsi nilai distribusi meromorfik dari ${\displaystyle s}$ dengan menggunakan persamaan fungsional berkali-kali.

${\displaystyle f(x)^{s}={1 \over b(s)}P(s)f(x)^{s+1}.}$

Fungsi ini dapat mempunyai kutub setiap kali ${\displaystyle b(s+n)}$ bernilai nol untuk ${\displaystyle n}$ bilangan bulat taknegatif.

• Jika ${\displaystyle f(x)}$ adalah polinomial namun tidak identik bernilai nol, maka ia memiliki invers ${\displaystyle g}$, yaitu distribusi;^[a] dengan kata lain, darab ${\displaystyle fg=1}$ merupakan distribusi. Jika ${\displaystyle f(x)}$ adalah taknegatif, maka inversnya dapat dibangun dengan menggunakan polinomial Benstein–Sato dengan mengambil bentuk nilai konstanta dari perluasan Laurent dari ${\displaystyle f(x)^{s}}$ di ${\displaystyle s=-1}$. Untuk sebarang ${\displaystyle f(x)}$, cukup ambil ${\displaystyle {\bar {f}}(x)}$ yang dikalikan dengan invers dari ${\displaystyle {\bar {f}}(x)f(x)}$.
• Teorema Malgrange–Ehrenpreis mengatakan bahwa setiap operator diferensial dengan koefisien konstanta mempunyai fungsi Green. Dengan menggunakan transformasi Fourier, maka dapat dikatakan bahwa setiap polinomial memiliki inverse distribusional.
• Polinomial ini dipakai oleh Pavel Etingof, yang ia perlihatkan untuk mendefinisikan regularisasi dimensi dengan cermat, dalam kasus mengenai dimensi Euklides yang besar.
• Persamaan fungsional Bernstein–Sato digunakan dalam perhitungan dari beberapa jenis yang lebih kompleks pada integral tunggal. Biasanya ini terjadi dalam teori medan kuantum. Perhitungan tersebut dibutuhkan untuk mengukur nilai-nilai yang teliti dalam partikel fisika dasar, seperti yang dipraktikkan pada, sebagai contoh, CERN (lihat kutipan pada makalah (Tkachov 1997)). Namun, kasus yang paling menarik memerlukan perumuman yang sederhana pada persamaan fungsional Bernstein–Sato ke perkalian dari dua polinomial, ${\displaystyle (f_{1}(x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}}$, dengan ${\displaystyle x}$ memiliki komponen skalar dari 2 hingga 6, dan pasangan dari polinomial memiliki urutan 2 dan 3. Sayangnya, penentuan Brute Force pada korespondensi operator diferensial ${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$ dan ${\displaystyle b(s_{1},s_{2})}$ untuk setiap kasus, terbukti sangat tidak praktis. Memikirkan cara untuk jalan pintas ledakan kombinatorial dari algoritma Brute Force akan sangat bernilai dalam penerapan tersebut,

• Berkesch, Christine; Leykin, Anton (2010). "Algorithms for Bernstein-Sato polynomials and multiplier ideals". Proc. ISSAC 2010. arXiv:1002.1475. Bibcode:2010arXiv1002.1475B.
• Bernstein, Joseph (1971). "Modules over a ring of differential operators. Study of the fundamental solutions of equations with constant coefficients". Functional Analysis and Its Applications. 5 (2): 89–101. doi:10.1007/BF01076413. MR 0290097.

• Coutinho, Severino C. (1995). A primer of algebraic D-modules. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 33. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-55908-1.
• Etingof, Pavel (1999). "Note on dimensional regularization". Quantum fields and strings: A course for mathematicians. Vol. 1. Providence, R.I.: American Mathematical Society. hlm. 597–607. ISBN 978-0-8218-2012-4. MR 1701608. (Princeton, NJ, 1996/1997)
• Kashiwara, Masaki (1976). "B-functions and holonomic systems. Rationality of roots of B-functions". Inventiones Mathematicae. 38 (1): 33–53. Bibcode:1976InMat..38...33K. doi:10.1007/BF01390168. MR 0430304.
• Kashiwara, Masaki (2003). D-modules and microlocal calculus. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 217. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2766-6. MR 1943036.
• Sabbah, Claude (1987). "Proximité évanescente. I. La structure polaire d'un D-module". Compositio Mathematica. 62 (3): 283–328. MR 0901394.
• Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1972). "On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 69 (5): 1081–1082. Bibcode:1972PNAS...69.1081S. doi:10.1073/pnas.69.5.1081. JSTOR 61638. MR 0296079. PMC 426633. PMID 16591979.
• Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1974). "On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces". Annals of Mathematics. Second Series. 100 (1): 131–170. doi:10.2307/1970844. JSTOR 1970844. MR 0344230.
• Sato, Mikio (1990) [1970]. "Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part)". Nagoya Mathematical Journal. 120: 1–34. doi:10.1017/s0027763000003214. MR 1086566. the English translation of Sato's lecture from Shintani's note