Teorema dimensi untuk ruang vektor

Pada matematika, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa semua basis dari ruang vektor memiliki jumlah elemen yang sama. Jumlah elemen ini dapat berupa hingga atau takhingga (dengan kasus terakhir, jumlahnya adalah bilangan kardinal), dan mendefinisikan dimensi dari ruang vektor tersebut.

Secara formal, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa:

Karena sebuah basis himpunan pembangkit [en] yang bebas secara linear, dimensi dari teorema tersebut adalah konsekuensi dari teorema berikut, yang juga berguna:

Secara khusus, jika V dibangkitkan secara hingga, maka seluruh basisnya bernilai hingga dan memiliki jumlah elemen yang sama.

Meskipun pembuktian dari keberadaan dari basis pada seluruh ruang vektor pada kasus umum memerlukan lema Zorn dan sama dengan aksioma pemilihan, keunikan dari basis kardinalitas hanya memerlukan lema ultrafilter.^[1] lema ini jauh lebih lemah, dengan pembuktian yang diberikan di bawah, tetapi dengan mengasumsikan trikotonomi.^[a] Teorema ini dapat digeneralisasi pada modul-R untuk gelanggang R yang memiliki bilangan basis tak berubah. Pada kasus pembangkitan hingga, pembuktian hanya menggunakan argumentasi dasar dari aljabar, dan tidak memerlukan aksioma pemilihan ataupun variannya yang lebih lemah.

Misalkan V adalah ruang vektor, {a_i: i ∈ I} adalah himpunan kebebasan linear dari elemen V, dan {b_j: j ∈ J} adalah himpunan pembangkit [en]. Perlu pembuktian bahwa kardinalitas dari I tidak bernilai lebih besar dari J.

Jika J bernilai hingga, maka hasilnya berasal dari lema pertukaran Steinitz.^[b] Jika J bernilai hingga, pembuktian yang berdasarkan teori matriks juga dimungkinkan.^[2]

Asumsikan bahwa J bernilai takhingga. Jika I bernilai hingga, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Maka, kita asumsikan bahwa I juga bernilai tak hingga. Kita asumsikan bahwa kardinalitas dari I lebih besar dari J.^[c] Kita harus membuktikan bahwa hal ini menghasilkan kontradiksi.

Dengan lema Zorn, setiap himpunan independen linear terkanding pada himpunan independen linear maksimal K. Maksimalitas ini menyiratkan bahwa K mengembangkan V dan maka adalah sebuah basis.^[d] Karena kardinalitas dari K bernilai lebih besar atau sama dengan kardinalitas I, kita dapat mengubah {a_i: i ∈ I} dengan K. Maka, kita dapat mengasumsikan, tanpa menghilangkan generalisasi, bahwa {a_i: i ∈ I} adalah sebuah basis.

Maka, setiap b_j dapat ditulis sebagai penjumlahan hingga

dengan E_j adalah subhimpunan dari I. Karena J bernilai takhingga, maka ∪_{j ∈ J}   E_j memiliki kardinalitas yang sama dengan J.^[c] Maka ∪_{j ∈ J}   E_j memiliki kardinalitas yang lebih kecil dari I. Maka, terdapat beberapa i₀ ∈ I yang tidak muncul pada E_j mana pun. Nilai a_i0 yang sesuai dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari b_j, yang akhirnya dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari a_i, tanpa a_i0. Maka, a_i0 bergantung secara linear pada a_i, yang memberikan kontradiksi yang diperlukan.

Aplikasi ini untuk teorema dimensi kadang dikenal sebagai teorema dimensi. Misalkan:

adalah peta linear. Maka,

yaitu, dimensi dari U bernilai sama dengan dimensi dari rentang transformasi ditambah dengan dimensi dari kernel. Lihat teorema kenolan peringkat untuk diskusi lebih lengkap.