Ін’екцыя (матэматыка)

Ін’екцыя у матэматыцы — адлюстраванне ${\displaystyle f}$ мноства ${\displaystyle X}$ у мноства ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle f\colon X\to Y}$), пры якім розныя элементы мноства ${\displaystyle X}$ адлюстроўваюцца ў розныя элементы мноства ${\displaystyle Y}$, гэта значыць, што калі два вобразы пры адлюстраванні супадаюць, то супадаюць і правобразы: ${\displaystyle f(x)=f(y)\Rightarrow x=y}$.

Ін’екцыю таксама называюць укладаннем або адна-адназначным адлюстраваннем (у адрозненне ад біекцыі, якая ўзаемна-адназначная). У адрозненне ад сюр’екцыі, пра якую гавораць, што яна адлюстроўвае адно мноства на іншае, аб ін’екцыі ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ аналагічная фраза фармулюецца як адлюстраванне ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$.

Ін’екцыю можна таксама азначыць як адлюстраванне, для якога існуе левае адваротнае, гэта значыць, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ін’ектыўнае, калі існуе ${\displaystyle g\colon Y\to X}$, пры якім ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$.

Паняцце ін’екцыі (разам з сюр’екцыяй і біекцыяй) з’явілася у працах Бурбакі і атрымала шырокае распаўсюджванне амаль ва ўсіх раздзелах матэматыкі.

Абагульненнем паняцця ін’екцыі у тэорыі катэгорый з’яўляецца паняцце манамарфізма, у многіх катэгорыях гэтыя паняцці эквівалентныя, аднак гэта выканана не заўжды.

Прыклады:

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x}$ — ін’ектыўная.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$ — ін’ектыўная.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$— не з’яўляецца ін’ектыўнай (${\displaystyle f(-2)=f(2)=4}$).

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов.