Адлюстроўваючая функцыя

Адлюстроўваючая функцыя (руск.: отражающая функция) — функцыя, якая злучае мінулы стан сістэмы з яе будучым станам у сіметрычны момант часу. Паняцце адлюстроўваючай функцыі ўведзена Уладзімірам Іванавічам Міроненкам.

Хай ${\displaystyle \varphi (t;t_{0},x)}$ ёсць агульнае рашэнне у форме Кашы сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x),}$ рашэнні якой адназначна вызначаюцца сваімі пачатковымі дадзенымі. Адлюстроўваючая функцыя гэтай сістэмы вызначаецца формулай ${\displaystyle F(t,x)=\varphi (-t;t,x).}$

Для ${\displaystyle \,2\omega }$-перыядычнай па зменнай ${\displaystyle t}$ сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў з адлюстроўваючай функцыяй ${\displaystyle \,F(t,x)}$ адлюстраванне ${\displaystyle \,\Pi (x)}$ за перыяд ${\displaystyle \,[-\omega ;\omega ]}$ (адлюстраванне Пуанкарэ) знаходзіцца па формуле ${\displaystyle \,\Pi (x)=F(-\omega ,x).}$ Таму веданне адлюстроўваючай функцыі дазваляе знаходзіць пачатковыя дадзеныя ${\displaystyle \,(\omega ,x_{0})}$ для ${\displaystyle \,2\omega }$-перыядычных рашэнняў ${\displaystyle \varphi (t;-\omega ,x_{0})}$ разглядваемай сістэмы і даследаваць гэтыя рашэнні на устойлівасць па Ляпунову. Адлюстроўваючая функцыя ${\displaystyle \,F(t,x)}$ сістэмы ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ задавальняе так званым асноўным суадносінам

${\displaystyle \,F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,}$ ${\displaystyle \,F(0,x)=x.}$

З дапамогай гэтых суадносін усталёўваецца, што для шматлікіх неінтэгруемых у квадратурах сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў адлюстраванне ${\displaystyle \,\Pi (x)}$ за перыяд ${\displaystyle \,[-\omega ;\omega ]}$ можа быць знойдзена нават праз элементарныя функцыі. У гэтым адлюстроўваючая функцыя можа быць супастаўлена з інтэгравальным множнікам.

Адлюстроўваючая функцыя выкарыстоўваецца пры даследаванні пытанняў існавання і ўстойлівасці перыядычных рашэнняў краявых задач для сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў.

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

• Сайт пра адлюстроўваючую функцыю (анг., рас.)
• How to construct equivalent differential systems Архівавана 19 жніўня 2011.