Аперацыі над мноствамі

Аперацыі над мноствамі дазваляюць атрымаць з аднаго або некалькіх існуючых мностваў новае мноства. Асноўныя аперацыі над мноствамі:

• аб’яднанне мностваў ${\displaystyle A\cup B}$ мае вынікам мноства, якое месціць усе элементы, якія ўваходзяць хаця б у адно з гэтых мностваў (у A, у B, або ў A і B адначасова)

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cup B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \lor \quad x\in B\quad \lor \quad x\in A\cap B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cup B\ \leftrightarrow \ x\in A-B\quad \lor \quad x\in B-A\quad \lor \quad x\in A\cap B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cup B\ \leftrightarrow \ x\in A\ \Delta \ B\quad \veebar \quad x\in A\cap B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad A\cup B=\{x|\quad x\in A\ \lor \ x\in B\ \lor \ x\in A\cap B\}}$

• перасячэнне мностваў ${\displaystyle A\cap B}$ мае вынікам мноства, якое месціць усе элементы, якія ўваходзяць у абодва мноствы (і ў A, і ў B)

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cap B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad x\in B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cap B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad x\notin A-B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad A\cap B=\{x|\quad x\in A\ \land \ x\in B\}}$

• дапаўненне (адніманне) мностваў ${\displaystyle ~A-B}$ мае вынікам мноства, якое месціць усе элементы, якія ўваходзяць у A, але не ўваходзяць у B

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A-B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad x\notin B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A-B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \veebar \quad x\in A\cap B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad A-B=\{x|\quad x\in A\ \land \ x\notin B\}}$

• сіметрычнае адніманне

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\ \Delta \ B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \veebar \quad x\in B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\ \Delta \ B\ \leftrightarrow \ x\in A-B\quad \lor \quad x\in B-A)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad A\ \Delta \ B=\{x|\quad x\in A\ \veebar \ x\in B\}}$

• простае памнажэнне

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\forall y\ (\langle x,y\rangle \in A\times B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad y\in B)}$

${\displaystyle ~\vdash \quad A\times B=\{\langle x,y\rangle |\quad x\in A\ \land \ y\in B\}}$