Арыфметычная прагрэсія

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a₁, a₂, a₃, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі^[1][2].

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a₁ і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d,\qquad n=1,2,3,\dots ,}$

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

${\displaystyle a_{1},\quad a_{1}+d,\quad a_{1}+2d,\quad \dots .}$

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку a_n+1 - a_n = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Паслядоўнасць ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\qquad n\geq 2.}$

Суму першых ${\displaystyle n}$ элементаў арыфметычнай прагрэсіі ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$ можна вылічыць па формулах

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n,}$

або

${\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n,}$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, a_n — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Няхай ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ — арыфметычная прагрэсія з рознасцю ${\displaystyle d}$ і лік ${\displaystyle b>0}$. Тады паслядоўнасць выгляду ${\displaystyle b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots }$ ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам ${\displaystyle b^{d}}$.

Арыфметычная прагрэсія ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ разбягаецца пры ${\displaystyle d\neq 0}$ і збягаецца пры ${\displaystyle d=0}$. Прычым

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}+\infty ,&d>0\\-\infty ,&d<0\\a_{1},&d=0\end{cases}}}$

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.

• Натуральны рад ${\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots }$ — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент ${\displaystyle a_{1}=1}$, а рознасць ${\displaystyle d=1}$.
• ${\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7}$ — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе ${\displaystyle a_{1}=1}$ і ${\displaystyle d=-2}$.
• Суму першых ${\displaystyle n}$ натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

• Геаметрычная прагрэсія

• Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі