Давядзенне да абсурду

Давядзенне да абсурду або доказ ад «процілеглага» (лац. Reductio ad absurdum) — адзін з самых выкарыстоўваных метадаў доказу сцвярджэнняў. Гэты спосаб заснаваны на праўдзівасці формулы ${\displaystyle ((A\Rightarrow B)\land \neg B)\Rightarrow \neg A}$ ў класічнай логіцы і законе двайнога адмаўлення.

Доказ сцвярджэння ${\displaystyle A}$ праводзіцца так. Спачатку прымаюць здагадку, што сцвярджэнне ${\displaystyle A}$ няправільна, а затым даказваюць, што пры такой здагадцы было бы дакладна некаторае сцвярджэнне ${\displaystyle B}$, якое загадзя памылкова. Атрыманая супярэчнасць даказвае, што зыходная здагадка была памылковай, і таму правільнае сцвярджэнне ${\displaystyle \neg \neg A}$, якое па закону двайнога адмаўлення раўназначна сцвярджэнню ${\displaystyle A}$.

У інтуіцыйнай логіцы закон выключанага трэцяга не працуе, таму такія доказы ў ёй не прымаюцца.

Доказ ірацыянальнасці ліку ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Дапусцім процілеглае: хай ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — рацыянальны лік. Тады яго можна прадставіць у выглядзе нескарачальнага дробу ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, дзе ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ — цэлыя лікі. Узвядзём меркаваную роўнасць у квадрат:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}$.

Адгэтуль варта, што ${\displaystyle m^{2}}$ цотна, значыць, цотна і ${\displaystyle m}$. Такім чынам, ${\displaystyle m^{2}}$ падзяляецца на 4, значыць, ${\displaystyle n^{2}}$ і ${\displaystyle n}$ таксама цотныя. Гэтае сцвярджэнне супярэчыць нескарачальнасці дробу ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$. Значыць, зыходнае сцвярджэнне памылкова, і ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — ірацыянальны лік.