Даўжыня крывой

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы ${\displaystyle (X,\rho )}$ называецца варыяцыя адлюстравання, якім задаецца крывая, г.з. даўжыня крывой ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ёсць велічыня, роўная:

${\displaystyle \sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k}))}$,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях ${\displaystyle P}$ адрэзка ${\displaystyle [a,b]}$.

Калі даўжыня канечная, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.

Калі крывая належыць класу ${\displaystyle C^{1}}$ у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то яе даўжыня роўная:

• У трохмернай еўклідавай прасторы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

  ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt.}$

• У агульным выпадку n-мернай еўклідавай прасторы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

  ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}\left(f'_{k}(t)\right)^{2}}}\,dt.}$

• Калі крывая зададзена на плоскасці ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ як графік функцыі y = f(x), то яе даўжыня роўная

  ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.}$