Кампактыфікацыя

У агульнай тапалогіі кампактыфіка́цыя — аперацыя, якая пераўтворыць адвольныя тапалагічныя прасторы ў кампактныя.

Фармальна кампактыфікацыя прасторы ${\displaystyle X}$ вызначаецца як пара ${\displaystyle (Y,\;f)}$, дзе ${\displaystyle Y}$ кампактна, ${\displaystyle f:X\to Y}$ гамеамарфізм на свой вобраз ${\displaystyle f(X)}$ і ${\displaystyle f(X)}$ шчыльна ў ${\displaystyle Y}$.

На кампактыфікацыях некаторай фіксаванай прасторы ${\displaystyle X}$ можна ўвесці частковы парадак. Пакладзем ${\displaystyle f_{1}\leqslant f_{2}}$ для двух кампактыфікацый ${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$, ${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$, калі існуе бесперапыннае адлюстраванне ${\displaystyle g:Y_{2}\to Y_{1}}$ такое, што ${\displaystyle gf_{2}=f_{1}}$. Максімальны (з дакладнасцю да гамеамарфізма) элемент у гэтым парадку называецца кампактыфікацыяй Стоўна — Чэха^[1] і пазначаецца ${\displaystyle \beta X}$. Для таго, каб у прасторы ${\displaystyle X}$ існавала кампактыфікацыя Стоўна — Чэха, якая задавальняе аксіёме аддзельнасці Хаусдорфа, неабходна і дастаткова, каб ${\displaystyle X}$ задавальняла аксіоме аддзельнасці ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$, г.зн. была цалкам рэгулярным.

Аднакропкавая кампактыфікацыя (або кампактыфікацыя Аляксандрава) ўладкованая наступным чынам. Няхай ${\displaystyle Y=X\cup \{\infty \}}$ і адкрытымі мноствамі ў ${\displaystyle Y}$ лічацца ўсе адкрытыя мноства ${\displaystyle X}$, а таксама мноства выгляду ${\displaystyle O\cup \{\infty \}}$, дзе ${\displaystyle O\subseteq X}$ мае кампактнае (у ${\displaystyle X}$) дапаўненне. ${\displaystyle f}$ бярэцца як натуральнае ўкладанне ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle (Y,\;f)}$ тады кампактыфікацыя, прычым ${\displaystyle Y}$ хаусдарфавае тады і толькі тады, калі ${\displaystyle X}$ хаусдарфавае і лакальна кампактнае.

${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ з тапалогіяй, сканструяванай як паказана вышэй, з'яўляецца кампактнай прасторай. Няцяжка даказаць, што калі дзве прасторы гамеаморфныя, то і адпаведныя аднакропкавыя кампактыфікацыі гамеаморфныя. У прыватнасці, так як акружнасць на плоскасці без адной кропкі гамеаморфная з ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (прыклад гамеамарфізму — стэрэаграфічная праекцыя), цэлая акружнасць гамеаморфная з ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$. Аналагічна, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ гамеаморфна c n-мернай гіперсферай.