Квадратычны закон узаемнасці

Квадратычны закон узаемнасці — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага параўнання па модулю  (руск.) (бел. простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.

Азначэнне сімвала Лежандра

Няхай a — цэлы лік, і p — просты лік, не роўны 2. Сімвал Лежандра  (руск.) (бел. ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ вызначаецца наступным чынам:

• ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=0}$, калі a дзеліцца на p;
• ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1}$, калі a з'яўляецца квадратычнаю рэштаю  (руск.) (бел. па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і існуе такі цэлы x, што ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$;
• ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1}$, калі a з'яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і не з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю p.

Тэарэма

Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджае^[1], што

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}},}$

дзе р і q — розныя няцотныя простыя лікі.

Таксама справядлівыя наступныя дапаўненні:

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$     і     ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}.}$

• Наступны факт, вядомы яшчэ П'еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў ${\displaystyle x^{2}+1}$ могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі

  ${\displaystyle 4k+1}$.

Іншымі словамі, параўнанне

${\displaystyle ~x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

па простаму модулю ${\displaystyle p>2}$ вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі ${\displaystyle ~p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}.}$

• Пытанне аб вырашальнасці параўнання

  ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\equiv 0{\pmod {p}}}$

развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці.

Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзе^[2]. Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе. Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.

Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны Залатаровым  (руск.) (бел. у 1872 годзе^[3][4][5].

Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасці^[6].

• Сімвал Лежандра  (руск.) (бел.
• Сімвал Якобі  (руск.) (бел.
• Сімвал Кронекера — Якобі  (руск.) (бел.

• И. М. Виноградов. Основы теории чисел.. — М.: Наука, 1972.
• К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел.. — М.: Мир, 1987.

• Weisstein, Eric W.. Quadratic Reciprocity Theorem (нявызн.). MathWorld.