Мінор (лінейная алгебра)

Мінор ${\displaystyle A{\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\dots \alpha _{k}\\\beta _{1}&\beta _{2}\dots \beta _{k}\end{bmatrix}}}$ матрыцы ${\displaystyle A}$ ― вызначнік такой квадратнай матрыцы ${\displaystyle B}$ парадку ${\displaystyle k}$ (які завецца таксама парадкам гэтага мінора), элементы якой стаяць у матрыцы ${\displaystyle A}$ на скрыжаванні радкоў з нумарамі ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}}$ і слупкоў з нумарамі ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}}$

Калі нумары адзначаных радкоў супадаюць з нумарамі адзначаных слупкоў, то мінор называецца галоўным, а калі адзначаны першыя k радкоў і першыя k слупкоў — вуглавым або вядучым галоўным.

Дадатковы мінор элемента матрыцы n-га парадку ёсць вызначнік парадку (n-1), які адпавядае той матрыцы, якая атрымліваецца з матрыцы шляхам выкрэслiвання i-га радка і j-га слупка.

Базісным мінорам матрыцы называецца любы яе ненулявы мінор максімальнага парадку. Для таго каб мінор быў базісным, неабходна і дастаткова, каб усе аблямоўваючыя яго мінор (гэта значыць тыя, якія змяшчаюць яго мінор на адзінку большага парадку) былі роўныя нулю. Сістэма радкоў (слупкоў) матрыцы, звязаных з базісным мінорам, з'яўляецца максімальнай лінейна незалежнай падсістэмай сістэмы ўсіх радкоў (слупкоў) матрыцы.

Напрыклад, ёсць матрыца:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}}$

Выкажам здагадку, трэба знайсці дадатковы мінор ${\displaystyle ~M_{23}}$. Гэты мінор які атрымліваецца шляхам выкрэслiвання радка 2 і слупка 3:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle \longrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(1*9-(4*(-1)))=13}$

Атрымліваем ${\displaystyle ~M_{23}=13}$

• Дадатковы мінор