Падобнасць (геаметрыя)

Падобнасць — ператварэнне эўклідавай прасторы, пры якім для любых двух пунктаў ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ і іх выяў${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ маюць месца суадносіны ${\displaystyle |A'B'|=k|AB|}$, дзе ${\displaystyle k}$ — не роўны нулю лік, што завецца каэфіцыентам падобнасці.

Вучэнне пра падобнасць фігур было створана ў Старажытнай Грэцыі у V—IV стст. да н.э. працамі Гіпакрата Хіяскага, Архіта Тарэнцкага, Яўдокса Кнідскага і інш. Яно выкладзена ў VI кнізе «Пачаткаў» Эўкліда.

• Кожная гаматэтыя з'яўляецца падобнасцю.
• Кожны рух (у тым ліку і тоесны) таксама можна разглядаць як ператварэнне падобнасці з каэфіцыентам ${\displaystyle k=1}$.

• Фігура ${\displaystyle F}$ завецца падобнай фігуры ${\displaystyle F'}$, калі існуе ператварэнне падобнасці, пры якім ${\displaystyle F\to F'}$.
  • Падобнасць фігур з'яўляецца дачыненнем эквівалентнасці.

• Падобнасць ёсць ўзаемна адназначным адлюстраваннем эўклідавай прасторы на сябе.
• Падобнасць захоўвае парадак пунктаў на простай, то бок калі пункт ${\displaystyle B}$ ляжыць паміж пунктамі ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle C'}$ — адпаведныя іх выявы пры некаторай падобнасці, то ${\displaystyle B'}$ таксама ляжыць паміж пунктамі ${\displaystyle A'}$ і ${\displaystyle C'}$.
• Пункты, што не ляжаць на простай, пры кожнай падобнасці пераходзяць у пункты, што не ляжаць на адной простай.
• Падобнасць ператворыць простую ў простую, адрэзак у адрэзак, прамень у прамень, вугал у вугал, акружнасць у акружнасць.
• Пры падобнасці вугал захоўвае велічыню.
• Падобнасць з каэфіцыентам ${\displaystyle k\not =1}$, што пераўтварае кожную простую ў паралельную ёй простую, з'яўляецца гаматэтыяй з каэфіцыентам ${\displaystyle k}$ ці ${\displaystyle -k}$.
  • Кожную падобнасць можна разглядаць як кампазіцыю руху ${\displaystyle D}$ і некаторай гаматэтыі ${\displaystyle \Gamma }$ з дадатным каэфіцыентам.
  • Падобнасць завецца уласнай (няўласнай), калі рух ${\displaystyle D}$ з'яўляецца ўласным (няўласным). Уласная падобнасць захоўвае арыентацыю фігур, а няўласная — змяняе арыентацыю на процілеглую.
• Два трохвугольніка з'яўляюцца падобнымі, калі
  • іх адпаведныя вуглы роўныя, ці
  • бакі сумерныя. Гл. таксама Прыкметы падобнасці трохвугольнікаў.
• Плошчы падобных фігур сумерныя квадратам іх адпаведных ліній (прыкладам, бакоў). Так, плошчы кругоў сумерныя адносінам квадратаў іх дыяметраў (ці радыусаў).

Аналагічна вызначаецца падобнасць (з захаваннем указаных вышэй уласцівасцей) у 3-мернай эўклідавай прасторы, а таксама ў n-мернай эўклідавай і псеўдаэўклідавай прасторах.

У метрычных прасторах гэтак жа, як у ${\displaystyle n}$-мерных рыманавых, псеўдарыманавых і фінслеравых прасторах падобнасць вызначаецца як ператварэнне, што перакладае метрыку прасторы ў сябе з дакладнасцю да пастаяннага множніка.

Сукупнасць усіх падабенстваў n-мернай эўклідавай, псеўдаэўклідавай, рыманавай, псеўдарыманавай ці фінслеравай прасторы складае ${\displaystyle r}$-складовую групу ператварэнняў Лі, якая завецца групай падобных (гаматэтычных) ператварэнняў адпаведнай прасторы. У кожнай з прастор указаных тыпаў ${\displaystyle r}$-складовая група падобных ператварэнняў Лі ўтрымвае ${\displaystyle (r-1)}$-складовую нармальную падгрупу рухаў.

Для абазначэння падобнасці выкарыстоўваецца значок ~.

• Кангруэнтнасць, геаметрыя
• Канформавае адлюстраванне
• Прыкметы падобнасці трохвугольнікаў
• Сіметрыя
• Сама-падобнасць

• Падо́бнасць // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 262. — 496 с.: іл. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
• Паўлюкевіч М. У. Падо́бнасць // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 11: Мугір — Паліклініка / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 11. — С. 503. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0188-5 (т. 11).

• Роўнасць і падобнасць геаметрычных фігур