Параметры Стокса

Параметры Стокса — набор велічынь, якія апісваюць вектар палярызацыі электрамагнітных хваляў, уведзены ў фізіку Дж. Стоксам у 1852 годзе^[1]. Параметры Стокса ёсць варыянтам апісання некагерэнтнага ці часткова палярызаванага выпраменьвання ў тэрмінах поўнай інтэнсіўнасці, ступені палярызацыі і формы эліпса палярызацыі.

У выпадку плоскай манахраматычнай хвалі параметры Стокса звязаны з параметрамі палярызацыйнага эліпса наступным чынам:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\\S_{1}&=Q=I\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=U=I\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=V=I\sin 2\chi \end{aligned}}}$

Тут ${\displaystyle E_{a}}$ і ${\displaystyle E_{b}}$ — вялікая і малая паўвосі палярызацыйнага эліпса, ${\displaystyle \psi }$ — вугал павароту палярызацыйнага эліпса адносна адвольнай лабараторнай сістэмы каардынат, мае назву азімута эліптычна-палярызаванага выпраменьвання^[3] (ці коратка — азімут), а вугал, вызначаемы з умовы дзелі малой паўвосі да вялікай ${\displaystyle \mathrm {tg} \,{\chi }=E_{b}/E_{a}}$ — вугал эліптычнасці эліпса палярызацыі. Няцяжка заўважыць, што ${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$ і ${\displaystyle S_{3}}$ з’яўляюцца праекцыямі ${\displaystyle S_{0}}$ на нейкія каардынатныя восі. У выніку незалежнымі являются тры параметры Стокса, паколькі:

${\displaystyle I^{2}=Q^{2}+U^{2}+V^{2}}$

Параметры Стокса можна звязать з велічынямі, непасрэдна вымяраемымі на вопыце. Няхай ${\displaystyle E_{1}}$ і ${\displaystyle E_{2}}$ — амплітуды змянення вектара ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ў двух адвольных артаганальных накірунках, а ${\displaystyle \delta }$ — рознасць фаз ваганняў у гэтых накірунках. Тады:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}\\S_{1}&=Q=E_{1}^{2}-E_{2}^{2}\\S_{2}&=U=2E_{1}E_{2}\cos \delta \\S_{3}&=V=2E_{1}E_{2}\sin \delta \end{aligned}}}$

Заўвага: у дадатак да варыянтаў абазначэнняў ${\displaystyle S_{0}}$, ${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$, ${\displaystyle S_{3}}$ ці ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$ у некаторых навуковых традыцыях можна сустрэць абазначэнні параметраў вектара ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle S}$ або ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ${\displaystyle P_{3}}$ ці ${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$, ${\displaystyle S_{3}}$, ${\displaystyle S_{4}}$.

Выразім з дапамогай параметраў Стокса лінейную палярызацыю. У гэтым выпадку рознасць фаз у любых артаганальных накірунках павінна быць роўная ${\displaystyle \delta =m\pi }$, дзе ${\displaystyle m}$ — цэлы лік. Тады атрымліваем

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\\Q&=I\cos {2\chi }\cos {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\cos {2\psi }=I\cos {2\psi }\\U&=I\cos {2\chi }\sin {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\sin {2\psi }=I\sin {2\psi }\\V&=I\sin {2\chi }=I{\frac {2E_{1}E_{2}}{I}}\sin {\delta }=0\end{aligned}}}$

Няхай лабараторная вось адліку была выбрана гарызантальнай, як часта гэта й робіцца. Калі ${\displaystyle \psi =0}$, то атрымліваецца гарызантальная лінейная палярызацыя, калі ${\displaystyle \psi =\pm {\frac {\pi }{2}}}$, то гэта ёсць вертыкальная лінейная палярызацыя.

У табліцы прыведзеныя значэнні параметраў Стокса для трох прыватных выпадкаў

Палярызацыя	Параметры Стокса
	${\displaystyle I}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle V}$
Лінейная	${\displaystyle I}$	${\displaystyle I\cos {2\psi }}$	${\displaystyle I\sin {2\psi }}$	${\displaystyle 0}$
Правая кругавая	${\displaystyle I}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle I}$
Левая кругавая	${\displaystyle I}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -I}$

Часта чатыры параметры Стокса аб’ядноўваюць у адзін чатырохмерны вектар, што завецца вектарам Стокса:

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

Вектар Стокса ахоплівае прастору непалярызаванага, часткова палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. Для параўнання, вектар Джонса, які таксама ужываецца для апісання палярызацыі, можна выкарыстоўваць толькі для цалкам палярызаванага выпраменьвання, у выніку той больш карысны для задач, звязаных з кагерэнтным выпраменьваннем.

Уплыў аптычнай сістэмы на палярызацыю святла, якое падае на яе, і зададзенага вектарам Стокса, можна разлічыць з дапамогай пераўтварэння Мюллера.

Ніжэй паказаныя вектары Стокса для некаторых простых варыянтаў палярызацыі святла.

Гарызантальная палярызацыя	Вертыкальная палярызацыя	Лінейная палярызацыя (+45°)	Лінейная палярызацыя (−45°)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$
Левая кругавая палярызацыя	Правая кругавая палярызацыя
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$
Непалярызаванае святло
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

У квазіманахраматычным выпраменьванні прысутнічаюць хвалі розных, хоть і блізкіх частот. Няхай ${\displaystyle a_{1}}$ і ${\displaystyle a_{2}}$ — імгненныя амплітуды ў двух узаемна-перпендыкулярных накірунках. Тады параметры Стокса задаюцца наступнымі выражэннямі:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\langle a_{1}^{2}\rangle +\langle a_{2}^{2}\rangle \\Q&=\langle a_{1}^{2}\rangle -\langle a_{2}^{2}\rangle \\U&=2\langle a_{1}a_{2}\cos \delta \rangle \\V&=2\langle a_{1}a_{2}\sin \delta \rangle \end{aligned}}}$

Для вызначэння параметраў Стокса увядзем інтэнсіўнасць ${\displaystyle I(\theta ,\epsilon )}$ ваганняў у накірунку, што ўтварае вугал ${\displaystyle \theta }$ з накірункам восі Ox, калі іх y-кампанента запазняецца на велічыню ${\displaystyle \epsilon }$ у адносінах да x-кампаненты. Тады

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=I(0^{\circ },0)+I(90^{\circ },0)\\Q&=I(0^{\circ },0)-I(90^{\circ },0)\\U&=I(45^{\circ },0)-I(135^{\circ },0)\\V&=I\left(45^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)-I\left(135^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

У адрозненне ад манахраматычнага выпраменьвання, у квазіманахраматычным выпадку параметры Стокса незалежныя і звязаныя няроўнасцю

${\displaystyle I^{2}\geqslant Q^{2}+U^{2}+V^{2}}$

Гэту няроўнасць можна растлумачыць, уявіўшы, што квазіманахраматычнае выпраменьванне складаецца з цалкам палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. На аснове гэтага можна ўвесці ступень палярызацыі:

${\displaystyle p={\frac {\sqrt {Q^{2}+U^{2}+V^{2}}}{I}}}$

Увядзём камплексную інтэнсіўнасць лінейнае палярызаванае хвалі

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\equiv &|L|e^{i2\theta }\\&\equiv &Q+iU.\\\end{matrix}}}$

Можна паказаць, што пры павароце ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$ палярызацыйнага эліпса велічыні ${\displaystyle I}$ і ${\displaystyle V}$ остаются нязменнымі, а велічыні ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle Q}$ і ${\displaystyle U}$ мяняюцца наступным чынам:

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}}$

Дзякуючы гэтым уласцівасцям параметры Стокса можна звесці да трох абагульненых інтэнсіўнасцяў:

${\displaystyle {\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}}$

дзе ${\displaystyle I}$ — поўная інтэнсіўнасць, ${\displaystyle |V|}$ — інтэнсіўнасць кампаненты з кругавой палярызацыяй, а ${\displaystyle |L|}$ — інтэнсіўнасць лінейна палярызаваной кампаненты выпраменьвання. Поўная інтэнсіўнасць палярызаванага выпраменьвання ёсць ${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$, а арыентацыя і накіраванне кручэння вызначаюцца раўнаннямі

${\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}$

Паколькі ${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$, а ${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$, то

${\displaystyle {\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}}$

• Палярызацыя святла

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster (1954). "Polarization and the Stokes Parameters". Am. J. Phys. 22: 351. Bibcode:1954AmJPh..22..351M. doi:10.1119/1.1933744.
• William H. McMaster (1961). "Matrix representation of polarization". Rev. Mod. Phys. 33: 8. Bibcode:1961RvMP...33....8M. doi:10.1103/RevModPhys.33.8.

• Stokes parameters and polarisation