Тэарэма косінусаў

Разгледзім трохвугольнік ABC. З вяршыні C на старану AB апусцім вышыню CD. З трохвугольніка ADC маем:

${\displaystyle AD=b\cos \alpha ,}$

${\displaystyle DB=c-b\cos \alpha .}$

Запішам тэарэму Піфагора для двух прамавугольных трохвугольнікаў ADC і BDC:

${\displaystyle h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)}$

Прыраўняем правыя часткі ўраўненняў (1) і (2):

${\displaystyle b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}.}$

Пасля пераўтварэнняў маем:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .}$

Выпадак, калі адзін з вуглоў пры аснове тупы (і вышыня падае на працяг асновы), цалкам аналагічны разгледжанаму.

Выразы для старон b і c:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}$