Упісаная акружнасць

Акружнасць называюць упісанаю (умежанаю) у вугал, калі яна ляжыць унутры вугла і датыкаецца да яго старон. Цэнтр акружнасці, упісанай (умежанай) у вугал, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.

Акружнасць называецца ўпісанаю ў выпуклы многавугольнік, калі яна ляжыць унутры дадзенага многавугольніка і датыкаецца да ўсіх яго старон.

• Калі ў дадзены выпуклы многавугольнік можна ўпісаць (умежыць) акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных вуглоў дадзенага многавугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.
• Радыус упісанай у многавугольнік акружнасці роўны адносіне яго плошчы да паўперыметра

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}}$

Уласцівасці ўпісанай акружнасці:

• У кожны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
• Цэнтр I упісанай акружнасці называецца інцэнтрам, ён роўнааддалены ад усіх старон і з'яўляецца пунктам перасячэння бісектрыс трохвугольніка.
• Радыус умежанай у трохвугольнік акружнасці роўны

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$

• Калі AB — аснова роўнастаронняга ${\displaystyle \triangle ABC}$, то акружнасць, якая датыкаецца да старон ${\displaystyle \angle ACB}$ ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.
• Формула Эйлера: ${\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}}$, дзе ${\displaystyle R}$ — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці, ${\displaystyle r}$ — радыус умежанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — цэнтр упісанай акружнасці.
• Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная старане AB, перасякае стораны BC і CA у пунктах A₁ і B₁, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}$.
• Пункты дотыку ўмежанай у трохвугольнік T акружнасці, злучаныя адрэзкамі, утвараюць трохвугольнік T₁.
  • Бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзіннымі перпендыкулярамі T₁.
  • Хай T₂ — ортатрохвугольнік T₁. Тады яго стораны паралельныя сторанам зыходнага трохвугольніка T.
  • Хай T₃ — пасярэдні трохвугольнік T₁. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі T₃.
  • Хай T4 — ортатрохвугольнік T₃, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі T₄.
• Радыус умежанай ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}}$.
• Адлегласць ад вяршыні С трохвугольніка да пункта, у якім умежаная акружнасць датыкаецца да стараны, роўная ${\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}$.
• Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці роўная ${\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}$, дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.
• Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці можна таксама знайсці па формулах ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}$ і ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}$
• Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі ${\displaystyle W}$ — пункт перасячэння бісектрысы вугла A з апісанаю акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то ${\displaystyle |WI|=|WB|=|WC|}$.
• Лема Вер'ера^[1]: хай акружнасць ${\displaystyle V}$ датыкаецца да старон ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$ і дугі ${\displaystyle BC}$ апісанай акружнасці трохвугольніка ${\displaystyle ABC}$. Тады пункты дотыку акружнасці ${\displaystyle V}$ са старонамі і цэнтр умежанай акружнасці трохвугольніка ${\displaystyle ABC}$ ляжаць на адной прамой.

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самаперасячэнняў («просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых старон роўныя: ${\displaystyle AB+CD=BC+AD}$.

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць па формуле: ${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах перасячэння процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамою Гауса. Цэнтр умежанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункт перасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых старон (тэарэма Брокараў).

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая датыкаецца да ўсіх яго старон.

• Тангенс радыуса^{[заўв 1]} ўпісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны^[2]:73-74

${\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}\,}$

• Упісаная ў сферычны трохвугольнік акружнасць належыць сферы. Радыус, праведзены з цэнтра сферы праз цэнтр упісанай акружнасці перасячэ сферу ў пункце перасячэння бісектрыс вуглоў (дуг вялікіх колаў сферы, якія дзеляць вуглы напалову) сферычнага трохвугольніка^[2]:20-21.

• Выдатныя пункты трохвугольніка
• Апісаная акружнасць
• Пазаўпісаная акружнасць

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0