Espai euclidià complex

En matemàtiques, l'espai euclidià complex,^[1] espai de coordenades complexes o espai complex n-dimensional) és el conjunt de totes les n-ples ordenades de nombres complexes. Es denota com ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, i és una n-varietat resultat del producte cartesià del pla complex ${\displaystyle \mathbb {C} }$ aplicat sobres si mateix. Simbòlicament,

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})|z_{i}\in \mathbb {C} \}}$

o

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n}.}$

Las variables ${\displaystyle z_{i}}$ són les coordenades (complexes) en l'espai n-complex.

L'espai de coordenades complexes és un espai vectorial sobre els nombres complexes, amb la suma per components i la multiplicació escalar. Les parts real i imaginària de les coordenades configures una bijecció de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ respecte a l'espai de coordenades real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Amb la topologia euclidiana estàndard, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ és un espai vectorial topològic sobre els nombres complexes.^[2]

Es diu que una funció en un subconjunt obert de l'n-espai complex és holomòrfica si és holomorfa en cada coordenada complexa per separat. L'anàlisi multivariable complexa és l'estudi de tals funcions holomòrfiques amb n variables. De manera més general, l'n-espai complex és l'espai destí dels sistemes de coordenades holomòrfiques en varietats complexes.^[3]

• Robert Gunning & Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables