Lipschitzovsky spojité zobrazení

Lipschitzovsky spojité zobrazení, nebo také lipschitzovské zobrazení, je zesílením stejnoměrně spojitého zobrazení na metrických prostorech. Jméno je podle německého matematika Rudolfa Lipschitze.

Lipschitzovsky spojité zobrazení je takové zobrazení ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ mezi metrickými prostory ${\displaystyle (M,d_{M})}$ a ${\displaystyle (N,d_{N})}$, že existuje konstanta ${\displaystyle K>0}$ a platí

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leq K\ d_{M}(x,y)}$

pro každé ${\displaystyle x,y\in M}$. Nejmenší taková konstanta ${\displaystyle K}$ se nazývá lipschitzovská konstanta.

Lipschitzovsky spojité zobrazení s lipschitzovskou konstantou ${\displaystyle K<1}$ se nazývá kontraktivní zobrazení, nebo kontrakce.

Funkce ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ je lipschitzovsky spojitá, nebo lipschitzovská, pokud existuje konstanta ${\displaystyle K>0}$ a pro každé ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ platí

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}$.

Množina všech lipschitzovsky spojitých funkcí na oblasti ${\displaystyle \Omega }$ se značí ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,1}(\Omega )}$.

Každé lipschitzovsky spojité zobrazení je stejnoměrně spojité a tedy i spojité.

Lipschitzovsky spojitá funkce je již diferencovatelná skoro všude na ${\displaystyle \Omega }$.

• Hölderova podmínka