Invariant Random Subgroup

Invariant Random Subgroup (IRS) ist ein Begriff aus der Mathematik. Diese Terminologie wurde von Abért, Glasner und Virág in einer 2014 erschienenen Arbeit eingeführt.^[1]

Sei ${\displaystyle G}$ eine topologische Gruppe, ${\displaystyle Sub(G)}$ der Raum der abgeschlossenen Untergruppen mit der Chabauty-Topologie. Eine invariant random subgroup ist ein Borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle Sub(G)}$, dass unter der Konjugationswirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle Sub(G)}$ invariant ist.

Der Raum aller solchen Maße mit der schwachen Topologie wird mit ${\displaystyle IRS(G)}$ bezeichnet.

• Wenn ${\displaystyle N}$ ein Normalteiler ist, ist das Dirac-Maß ${\displaystyle \delta _{N}}$ eine IRS.
• Wenn ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ein Gitter ist, erhält man mittels der Abbildung ${\displaystyle \Gamma g\in \Gamma \backslash G\to g^{-1}\Gamma g\in Sub(G)}$ durch Push-Forward des auf ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ auf Volumen ${\displaystyle 1}$ normierten Haar-Maßes eine IRS auf ${\displaystyle G}$, die mit ${\displaystyle \mu _{\Gamma }}$ bezeichnet wird.

Sei ${\displaystyle G}$ eine zusammenhängende, halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und mit trivialem Zentrum, sei ${\displaystyle K\subset G}$ eine maximal kompakte Untergruppe und ${\displaystyle X=G/K}$ der symmetrische Raum. Dann sind für eine Folge von Gittern ${\displaystyle \Gamma _{n}\subset G}$ äquivalent:

• Die Folge ${\displaystyle \Gamma _{n}\backslash X}$ BS-konvergiert gegen ${\displaystyle X}$.
• Die Folge ${\displaystyle \mu _{\Gamma _{n}}}$ konvergiert in ${\displaystyle IRS(G)}$ gegen das Dirac-Maß auf der trivialen Untergruppe ${\displaystyle \left\{1\right\}}$.

Sei ${\displaystyle G}$ eine nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppe mit trivialem Zentrum und ${\displaystyle rank_{\mathbb {R} }(G)\geq 2}$. Dann folgt aus dem Satz von Nevo-Stuck-Zimmer, dass alle IRS entweder ${\displaystyle \mu _{\Gamma }}$ für ein Gitter ${\displaystyle \Gamma }$ oder ${\displaystyle \mu _{id}}$ oder ${\displaystyle \mu _{G}}$ sind.

Dagegen gibt es für nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppen mit trivialem Zentrum und ${\displaystyle rank_{\mathbb {R} }(G)=1}$ zahlreiche „exotische“ IRS.

• Clara Löh: Ergodic Theoretic Methods in Group Homology. A Minicourse on L²-Betti Numbers in Group Theory (= SpringerBriefs in Mathematics.). Springer Nature, Cham 2020, ISBN 978-3-030-44219-4.
• Miklos Abert, Nicolas Bergeron, Ian Biringer, Tsachik Gelander, Nikolay Nikolov, Jean Raimbault, Iddo Samet: On the growth of L²-invariants for sequences of lattices in Lie groups. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Band 185, Nummer 3, 2017, S. 711–790 JSTOR:26395741.

1. ↑ Miklós Abért, Yair Glasner, Bálint Virág: Kesten’s theorem for invariant random subgroups. In: Duke Math. J. 163. Jahrgang, Nr. 3, 2014, S. 465–488 (englisch).