Serres mod-C-Theorie

In der Mathematik ist Serres mod-C-Theorie ein Konzept der Homotopietheorie, demzufolge sich manche Sätze der algebraischen Topologie modulo Klassen abelscher Gruppen formulieren lassen.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Klasse abelscher Gruppen mit der Eigenschaft, dass für Gruppen in einer exakten Sequenz ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ aus ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ auch ${\displaystyle B\in {\mathcal {C}}}$ folgt. Weiterhin folge aus ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ stets ${\displaystyle A\otimes B\in {\mathcal {C}}}$ für beliebige ${\displaystyle B}$, und aus ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ folge ${\displaystyle H_{i}(A)\in {\mathcal {C}}}$ für alle ${\displaystyle i>0}$.

Ein Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen ${\displaystyle f\colon A\to B}$ heißt ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-injektiv, wenn sein Kern zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gehört, und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-surjektiv, wenn sein Kokern zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gehört. Er heißt ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-Isomorphismus, wenn er ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-injektiv und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-surjektiv ist.

Der von Serre bewiesene „Satz von Hurewicz mod ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$“ besagt: Für einen Raum ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \pi _{0}X=\pi _{1}X=0}$ und ${\displaystyle \pi _{i}X\in {\mathcal {C}}}$ für alle ${\displaystyle i<n}$ ist ${\displaystyle H_{i}(X)\in {\mathcal {C}}}$ für ${\displaystyle 0<i<n}$ und ${\displaystyle \pi _{n}X\to H_{n}(X)}$ ist ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-Isomorphismus. Für ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{0\right\}}$ erhält man das Satz von Hurewicz.

Der von Serre bewiesene „Satz von Whitehead mod ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$“ besagt: Für Räume ${\displaystyle X,Y}$ mit ${\displaystyle \pi _{0}X=\pi _{0}Y=0,\pi _{1}X=\pi _{1}Y=0}$ und eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, so dass ${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{2}X\to \pi _{2}Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-surjektiv ist, sind für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ die folgenden Bedingungen äquivalent:

• ${\displaystyle f_{*}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$ ist ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-Isomorphismus für ${\displaystyle i<n}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-surjektiv für ${\displaystyle i=n}$,
• ${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{i}X\to \pi _{i}Y}$ ist ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-Isomorphismus für ${\displaystyle i<n}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-surjektiv für ${\displaystyle i=n}$.

Für ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{0\right\}}$ erhält man einen Satz von Whitehead.

• J.-P. Serre: Groupes D'Homotopie Et Classes De Groupes Abelien, Ann. Math. 58, 258–294, 1953. online