Sous-groupeUn sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Définitions
Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Sous-groupe propre
PropriétéL'élément neutre de H est idempotent donc égal à e (le neutre de G), et le symétrique (dans H) d'un élément h de H est aussi (l'unique) symétrique de h dans G. Pour cette raison, leur notation est la même dans H que dans G. CaractérisationD'après la définition donnée plus haut, une partie H de G est un sous-groupe de G si et seulement si :
Dans cette caractérisation, on peut (compte tenu de la condition 2.) remplacer la condition 1. par : H est non vide. Un sous-ensemble fini de G est un sous-groupe de G si (et seulement si) il est non vide et stable pour les produits[4]. ExemplesSous-groupe d'un groupe cyclique finiSoit G un groupe cyclique fini d'ordre pq, où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors G a un unique sous-groupe d'ordre p. Ce sous-groupe est cyclique, engendré par gq où g est n'importe quel générateur de G. Sous-groupe des entiers relatifsLes sous-groupes du groupe additif ℤ des entiers relatifs sont les parties de la forme nℤ, pour n'importe quel entier n[5]. Sous-groupe des réelsPlus généralement, les sous-groupes non denses du groupe additif ℝ des réels sont les parties de la forme rℤ, pour n'importe quel réel r. On en déduit le théorème de Jacobi-Kronecker : dans le cercle unité (le groupe multiplicatif des complexes de module 1), le sous-groupe des puissances d'un élément ei2πt (qui est évidemment fini si t est rationnel) est dense si t est irrationnel. Sous-groupe engendré par une partieSoit S une partie de G. Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant S, appelé « sous-groupe engendré par S », et noté 〈S〉. Théorème de LagrangeSi G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que [G:H] |H| = |G|, où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|. CorollaireTout groupe d'ordre premier p est cyclique et isomorphe à ℤ/pℤ. Liens avec les morphismesLa notion de sous-groupe est « stable » pour les morphismes de groupes. Plus précisément : Soit f : G → G' un morphisme de groupes.
Si K est un sous-groupe de H et H un sous-groupe de G alors K est un sous-groupe de G, et de même en remplaçant « est un sous-groupe » par « est isomorphe à un sous-groupe ». Mais l'analogue du théorème de Cantor-Bernstein est faux pour les groupes, c'est-à-dire qu'il existe (parmi les groupes libres par exemple) deux groupes non isomorphes tels que chacun se plonge dans l'autre. Liens avec les treillisLes sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes A et B est leur intersection A⋂B. La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit 〈A⋃B〉. Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G. Notes et références
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