Théorème de la base normale

En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois.

Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière.

Ce théorème fut d'abord établi dans le cas des corps finis^[1] : en 1850, Eisenstein démontra le cas où K est un corps premier fini^[2] et Schönemann celui où le degré de l'extension est premier^[3] ; c'est Hensel qui démontra le théorème pour les corps finis en toute généralité^[4]. En 1932, ce résultat fut étendu à certains corps infinis par Emmy Noether^[5], puis à tous par Deuring^[6].

La démonstration de Deuring traitait simultanément tous les corps (finis ou infinis) grâce à l'« argument de Deuring-Noether »^[1],[7]. La plupart des manuels proposent cependant une démonstration ultérieure d'Artin^[8] dans le cas infini, formulée en termes de déterminants, et donnent un argument complètement différent pour le cas fini.

Ce théorème a été généralisé : il existe même un élément simultanément « libre » sur tous les corps intermédiaires (en qualifiant de « libres sur K » les éléments x dont le théorème de la base normale énonce l'existence)^[9] : Faith l'a prouvé en 1957 pour les corps infinis (en étendant l'argument d'Artin)^[10], mais ce n'est qu'en 1986 que ce résultat a été établi pour les corps finis, par Blessenohl et Johnsen^[11].

La preuve suivante, inspirée de Deuring, consiste à décomposer de deux façons le K[G]-module (à gauche) des endomorphismes du K-espace vectoriel L, puis à invoquer le théorème de Krull-Schmidt^{[1],[12],[13]}.

Soient n le degré de l'extension, (x₁, … , x_n) une base du K-espace vectoriel L et (y₁, … , y_n) une base de son dual. Une première décomposition est

${\displaystyle \mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}.}$

C'est non seulement une somme directe de K[G]-sous-modules mais aussi de L-sous-espaces vectoriels, donc End_K(L) est de dimension n sur L. Or d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, les n éléments de G sont L-linéairement indépendants. Ils forment donc eux aussi une base du L-espace vectoriel End_K(L) :

${\displaystyle \mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}Lg.}$

Contrairement aux Ly_j, les Lg ne sont pas stables pour l'action à gauche de G, mais on a (en identifiant tout élément ℓ de L avec l'élément de End_K(L) « multiplication par ℓ ») :

${\displaystyle \forall g\in G,\quad \forall \ell \in L,~g.\ell =g(\ell )g\quad {\text{donc}}\quad g.L=Lg,}$

ce qui permet de décomposer End_K(L) en K-sous-espaces vectoriels puis, en regroupant, en K[G]-sous-modules :

${\displaystyle \mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}g.L=\oplus _{g\in G}g.\left(\oplus _{i=1}^{n}Kx_{i}\right)=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}.}$

On aboutit ainsi à l'isomorphisme de K[G]-modules

${\displaystyle L^{n}\simeq \oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}\simeq \left(K[G]\right)^{n},}$

dont on déduit, grâce au théorème de Krull-Schmidt, que L est isomorphe à K[G].

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