Formula di Bretschneider

In geometria, la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:

${\displaystyle A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro, ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \gamma }$ sono i due angoli opposti.

La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider nel 1842. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.

Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\operatorname {Area} ({\stackrel {\vartriangle }{ADB}})+\operatorname {Area} ({\overset {\vartriangle }{BDC}})=\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}\end{aligned}}}$

Perciò

${\displaystyle 4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,}$

Il teorema del coseno implica che

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,}$

poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD. Ciò può essere riscritto nella forma

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

Sostituendo questo nella formula di sopra per ${\displaystyle 4A^{2}}$, si ottiene

${\displaystyle 4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,}$

Questo può essere scritto come

${\displaystyle 16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Introducendo il semiperimetro

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

la formula sopra diventa

${\displaystyle 16A^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

da cui segue la formula di Bretschneider.

La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico, la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo. Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è ${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}$, quindi il coseno è nullo e il secondo termine del radicando scompare.

• (EN) Eric W. Weisstein, Bretschneider's Formula, su MathWorld, Wolfram Research.

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