Left loop

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Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.

Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto ${\displaystyle L}$ dotato di un'operazione binaria

${\displaystyle (\cdot ):L\times L\longrightarrow L}$

tale che:

1. esiste un elemento ${\displaystyle 1_{L}}$, detto neutro, tale che ${\displaystyle 1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}}$ per ogni ${\displaystyle a\in L}$;
2. l'equazione ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ha un'unica soluzione ${\displaystyle x\in L}$.

Siano ${\displaystyle G}$ un gruppo ed ${\displaystyle H}$ un suo sottogruppo. Una sezione di ${\displaystyle G}$ relativamente ad ${\displaystyle H}$ è un'applicazione

${\displaystyle \sigma :G/H\longrightarrow G,}$

dove ${\displaystyle G/H}$ è la famiglia delle classi laterali sinistre di ${\displaystyle G}$ modulo ${\displaystyle H}$, tale che:

1. ${\displaystyle \sigma (G/H)}$ è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
2. ${\displaystyle \sigma (H)=1_{G}}$.

Inoltre l'immagine ${\displaystyle L:=\sigma (G/H)}$ della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di ${\displaystyle G/H}$. Va osservato che la 1. è equivalente alla condizione

${\displaystyle \pi \circ \sigma (gH)=gH,\quad \forall g\in G,}$

dove ${\displaystyle \pi :G\to G/H}$ è la proiezione canonica del gruppo ${\displaystyle G}$ sul quoziente ${\displaystyle G/H}$.

Siano ${\displaystyle G}$ un gruppo, ${\displaystyle H}$ un sottogruppo di ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle \sigma }$ una sezione di ${\displaystyle G/H}$, allora ${\displaystyle L:=\sigma (G/H)}$ è un left loop rispetto l'operazione

${\displaystyle a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).}$

Dimostrazione

L'identità ${\displaystyle 1_{G}}$ sta in ${\displaystyle L}$ poiché esso è un trasversale di ${\displaystyle G/H}$, dunque basta far vedere che l'equazione sinistra

${\displaystyle a\cdot x=b,\quad (1)}$

ha un'unica soluzione in ${\displaystyle L.}$

L'elemento ${\displaystyle \sigma (a^{-1}bH)}$ è una soluzione di (1), poiché

${\displaystyle a\cdot \sigma (a^{-1}bH)=\sigma (a\sigma (a^{-1}bH)H)=\sigma (aa^{-1}bH)=\sigma (bH)=b.}$

Supponiamo che

${\displaystyle a\cdot x=a\cdot y,}$

per qualche ${\displaystyle x,y\in L}$, allora

${\displaystyle a\cdot x=a\cdot y\Leftrightarrow \sigma (a\cdot xH)=\sigma (a\cdot yH)\Rightarrow \sigma (a\cdot xH)H=\sigma (a\cdot yH)H\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow axH=ayH\Rightarrow xH=yH\Rightarrow x=y.}$

Siano ${\displaystyle G}$ un gruppo, ${\displaystyle H}$ un sottogruppo ed ${\displaystyle \sigma :G/H\to G}$ una sezione con ${\displaystyle \sigma (H)=1_{G}}$. Il left-loop definito su ${\displaystyle L=\sigma (G/H)}$ rispetto l'operazione

${\displaystyle a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).}$

è un loop se e solo se ${\displaystyle L}$ è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo ${\displaystyle G/H^{g}}$, ${\displaystyle g\in G}$.

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