Modello di Vicsek

In fisica statistica, il modello di Vicsek è un modello matematico utilizzato per descrivere in modo semplificato (un toy model) la materia attiva. La principale motivazione alla base dello studio della materia attiva da parte dei fisici è la ricca fenomenologia associata a questo campo, di cui il moto collettivo e la sciamatura sono tra i fenomeni più studiati. All'interno dell'enorme numero di modelli che sono stati sviluppati per catturare tale comportamento partire da una descrizione microscopica, il più famoso è il modello introdotto da Tamás Vicsek, assieme ad altri scienziati, nel 1995.^[1] In realtà un modello molto simile era stato già introdotto in precedenza nel campo della computer grafica da Craig Reynolds nel 1986 con il software Boids.^[2]

I fisici hanno un grande interesse per modello di questo tipo in quanto è minimale e descrive dei comportamenti universali. È costituito da particelle semoventi puntiformi che si muovono a velocità costante e allineano la direzione del loro moto con quella delle particelle vicine, in presenza di rumore. Tale modello è in grado di simulare un moto movimento collettivo per una elevata densità di particelle o per un basso rumore di fondo.

Descrizione matematica

Un elemento $i$ è descritto dal suo vettore posizione $\mathbf {r} _{i}(t)$ e dall'angolo $\Theta _{i}(t)$ che definisce la direzione del suo moto al tempo $t$ . L'evoluzione temporale, discretizzata, di una particella è quindi data da due equazioni: ad ogni intervallo di tempo $\Delta t$ , ogni individuo si allinea con i suoi vicini $j$ , posti a distanza massima $r$ , con un'incertezza dovuta a un rumore stocastico $\eta _{i}(t)$ , come:

$\Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}+\eta _{i}(t)$

dove $\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}$ indica la direzione media del moto delle particelle (compresa $i$ ) che si trovano all'interno del cerchio di raggio $r$ , e si muove a velocità costante $v$ nella nuova direzione:

$\mathbf {r} _{i}(t+\Delta t)=\mathbf {r} _{i}(t)+v\Delta t{\begin{pmatrix}\cos \Theta _{i}(t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}$

L'intero modello dipende da tre parametri: la densità delle particelle, l'intensità del rumore sull'allineamento e il rapporto tra la distanza percorsa in un intervallo $v\Delta t$ e il raggio di interazione $r$ . Da queste due semplici regole iterative sono state ricavate varie teorie continue,^[3] fra cui la più famosa è il modello di Toner-Tu^[4] che descrive il sistema con un'equazione di tipo idrodinamico. È stata sviluppata anche una teoria cinetica alla Enskog, valida per valori di densità arbitrari.^[5] Questa teoria è in grado di descrivere quantitativamente la formazione di onde di densità ripide, chiamate anche onde di invasione, nei pressi della transizione al moto collettivo.^[6]

Fenomenologia

Questo modello mostra una transizione di fase^[7] da un moto disordinato a un moto ordinato su larga scala. A grande rumore, o a bassa densità, le particelle sono in generale non allineate fra loro, e si comportano come un gas disordinato. A basso rumore e ad alta densità, le particelle invece sono allineate fra loro muovendosi nella stessa direzione, come un liquido ordinato. La transizione tra queste due fasi non è continua, infatti il diagramma di fase del sistema mostra una transizione di fase del primo ordine con una regione di coesistenza. In tale regione, bande di "liquido" di dimensione finita^[8] emergono all'interno di un ambiente "gassoso" e si muovono lungo la loro direzione trasversale. Recentemente è stata scoperta una nuova fase: una fase ordinata polare, simile al mare a croce, di onde di densità. Questa organizzazione spontanea delle particelle è quindi un toy model di comportamento emergente nel campo della materia attiva.

Estensioni

Dalla sua comparsa nel 1995 questo modello è stato molto popolare all'interno della comunità dei fisici statistici; con molti scienziati che ci hanno lavorato e hanno provato ad ampliarlo. Ad esempio, si possono ricavare diverse classi di universalità a partire da semplici argomenti di simmetria riguardanti il moto delle particelle e il loro allineamento.^[9]

Per descrivere in modo più realistico i sistemi reali, si possono aggiungere molti altri effetti, ad esempio attrazione e repulsione tra agenti, particelle di dimensione finita o di forma non sferica, chemiotassi (ad esempio nei sistemi biologici), memoria (ossia il moto di una particella dipende non solo dai valori al tempo $t$ , ma anche ai tempi precedenti), particelle non tutte identiche fra di loro, o l'influsso del liquido in cui sono immerse le particelle (nel caso in cui esse siano micronuotatori come i batteri).

Una teoria più semplice, il modello di Ising attivo,^[10] è stata sviluppata per facilitare l'analisi del modello di Vicsek.