Operatore di Markov

Nella teoria della probabilità e nella teoria ergodica, un operatore di Markov è un operatore in uno specifico spazio delle funzioni che conserva la massa (la cosiddetta proprietà di Markov).

Sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ uno spazio di misura. Ogni operatore lineare ${\displaystyle P:L^{1}\rightarrow L^{1}}$ che soddisfa

• ${\displaystyle Pf\geq 0}$, per ${\displaystyle f\geq 0}$, ${\displaystyle f\in L^{1}}$,
• ${\displaystyle \|Pf\|=\|f\|}$, per ${\displaystyle f\geq 0,f\in L^{1}}$

è detto operatore di Markov.

In particolare dal secondo punto si deduce subito che l'operatore di Markov è una contrazione.

Una famiglia ${\displaystyle \{P(t)\}_{t\geq 0}}$ di operatori di Markov che soddisfa le condizioni

• ${\displaystyle P(0)=Id}$,
• ${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)}$ per ${\displaystyle s,t\geq 0}$,
• ${\displaystyle \forall f\in L^{1},t\mapsto P(t)f}$ è continua

è detta semigruppo di Markov.

Sia ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ una famiglia di operatori di Markov lineari limitati sullo spazio di Hilbert ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$, dove ${\displaystyle \mu }$ è una misura invariante. Il generatore infinitesimale ${\displaystyle L}$ del semigruppo di Markov ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ è definito come

${\displaystyle Lf=\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}},}$

ed il dominio ${\displaystyle D(L)}$ è lo spazio ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$ di tutte le funzioni ove esiste tale limite, coincidente esso stesso con ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$.

${\displaystyle D(L)=\left\{f\in L^{2}(\mu ):\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}}{\text{ esiste ed è in }}L^{2}(\mu )\right\}.}$

• Bakry, Dominique; Gentil, Ivan; Ledoux, Michel. Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Springer Cham. doi:10.1007/978-3-319-00227-9.

• Eisner, Tanja; Farkas, Bálint; Haase, Markus; Nagel, Rainer (2015). "Markov Operators". Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2727. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-16898-2.

• Wang, Fengyu (2006). Functional Inequalities Markov Semigroups and Spectral Theory. Ukraine: Elsevier Science.
• Lasota, Andrzej; Mackey M.C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.

• Operatore
• Andrey Markov

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