アイゼンシュタインの既約判定法

アイゼンシュタインの既約判定法（アイゼンシュタインのきやくはんていほう、英: Eisenstein's criterion）は整係数の多項式が有理数体 ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ 上で既約であるための十分条件を与える定理である。ゴットホルト・アイゼンシュタインが1850年に発表した論文が由来^[1]。20世紀初頭では、シェーネマン＝アイゼンシュタインの既約判定法とも呼ばれていた。これは、1846年にテオドル・シェーネマン（英語版）がこの定理を最初に発表した^[2]ことに由来する^[3][4]。

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

を整数係数の多項式とする。ある素数 p が存在して、整数 a₀, a₁, …, a_n が

• i ≠ n の場合は a_i は p で割り切れる
• a_n は p で割り切れない
• a₀ は p² で割り切れない

を満たすならば、${\displaystyle P(x)}$ は有理数体 ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ 上で既約である。

上の定理の係数環 ${\displaystyle Z}$ は一意分解環にまで一般化できる。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。

${\displaystyle A}$ を一意分解環、${\displaystyle K}$ をその商体とする。${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

を ${\displaystyle A}$ 係数の多項式とする。ある ${\displaystyle A}$ の素元 p が存在して、a₀, a₁, …, a_n が

• i ≠ n の場合は a_i は p で割り切れる
• a_n は p で割り切れない
• a₀ は p² で割り切れない

を満たすならば、${\displaystyle P(x)}$ は体 ${\displaystyle K}$ 上で既約である。

さらに係数環を整域にまで拡張できる（詳細は英語版を参照のこと）。

• 複素係数多項式 ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-1}$ は既約である。実際 ${\displaystyle C[X]}$ 係数の一変数多項式と見て素元として ${\displaystyle X-1}$ と選べばよい。

• Cox, David A. (2011), “Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first”, American Mathematical Monthly 118 (1): 3-31, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003 .
• Dorwart, H. L. (1935), “Irreducibility of polynomials”, American Mathematical Monthly 42 (6): 369-381, doi:10.2307/2301357, https://www.jstor.org/stable/2301357 .
• Eisenstein, Gotthold (1850), “Über die Irredicibilität une einige andere Eigenschaften der Gleichung von welche der Theilung der ganzen Lemniscate abhängt”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1850 (39): 160-179, doi:10.1515/crll.1850.39.160 .
• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3 .
• “Algebraic equation”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].
• Schönemann, Theodor (1846), “Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 (32): 93-118, doi:10.1515/crll.1846.32.93 .
• Schönemann, Theodor (1850), “Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1850 (40): 185-188, doi:10.1515/crll.1850.40.185 .

• 世界大百科事典『アイゼンシュタインの定理』 - コトバンク
• 『アイゼンシュタインの定理』 - 高校数学の美しい物語
• Barile, Margherita. “Eisenstein's Irreducibility Criterion”. mathworld.wolfram.com (英語).

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