アルティン相互法則

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アルティンの相互法則またはアルティン相互律（アルティンそうごりつ、英: Artin reciprocity law）とは、一連の論文Emil Artin (1924, 1927, 1930)で確立された、大域類体論の中心的部分を形作る数論の一般的定理である^[1]。「相互法則」という用語は、平方剰余の相互法則やゴットホルト・アイゼンシュタインやエルンスト・クンマーから、ダフィット・ヒルベルトのノルム剰余記号（英語版）の積公式へ至る法則を一般化し、より具体的な数論の命題とした法則である。アルティンの結果は、ヒルベルトの第9問題（英語版）への部分的解答となっている。

K を大域体とし L をそのガロア拡大とする。C_Lで L のイデール類群をあらわす。アルティンの相互法則の主張の一つは、大域相互写像、大域アルティン記号などと呼ばれる標準的な同型写像 $${\displaystyle \theta \colon C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}}}$$の存在である^[2][3]。 この写像は、K の各素点 v ごとに定まる局所アルティン記号、局所相互写像あるいはノルム剰余記号（英語版）^[4][5]と呼ばれる写像の族 $${\displaystyle \theta _{v}\colon K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}}}$$ をひとまとめにしたものとして定義される。より精確に、θ はイデール類の v-成分上で定義された局所写像 θ_v によって与えられる。この写像 θ_v は同型であるというのが局所相互律、すなわち局所類体論の主定理の内容であった。

アルティン相互法則は大域体 K の絶対ガロア群のアーベル化をハッセの局所・大域原理やフロベニウス元に基づいて記述するというものである。高木の存在定理とあわせることで K のアーベル拡大のようすや、そこでの素数の振る舞いを理解することができる。従って、アルティン相互法則は、大域類体論の主要な定理のひとつである。アルティン相互法則は、アルティンのL-函数が有理型であることの証明や、チェボタレフの密度定理の証明に使われる^[6]。

アルティンは、一般相互法則の出版の 2 年後、シューアの移送準同型（英語版）を再発見した。相互法則を用いることにより、代数体のイデアル類の単項化問題（英語版）を、有限非アーベル群の移送準同型の核を決定するという群論の問題に翻訳した。^[7]

アルティン写像は、素イデアルとフロベニウス元を用いて具体的に記述される。

${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ を K の素イデアルとすると、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 上の素イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ の分解群は、ガロア群がアーベル的であるので ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ のとりかたによらず Gal(L/K) において等しい。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ が L で不分岐であれば、分解群 ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ は、剰余体 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$ の拡大 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$ のガロア群に標準的に同型である。従って、${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$ もしくは ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$ と書かれる Gal(L/K) のフロベニウス元を剰余体のガロア群のフロベニウス元のもちあげとして標準的に定義することができる。Δ で L/K の相対判別式（英語版）(relative discriminant)表すとする。L/K のアルティン記号（あるいは、アルティン写像、大域相互写像）は、上のフロベニウス元の定義を線型に拡張したものとして素イデアルと Δ の分数イデアル群 ${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$ の上に定義される。

${\displaystyle {\begin{matrix}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):&I_{K}^{\Delta }&\longrightarrow &\mathrm {Gal} (L/K)\\&\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}}&\mapsto &\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}.}\end{matrix}}}$

アルティン相互法則 (もしくは大域相互法則) は、K の モジュラス（英語版） c が存在し、アルティン写像が同型

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/\iota (K_{\mathbf {c} ,1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{{}\to {}}}\operatorname {Gal} (L/K)}$

を引き起こすという法則である。ここに K_c,1 は c を法とする射線全体（英語版）、${\textstyle \iota :K^{\times }\to I_{K}}$は単項分数イデアルに送る写像、N_L/K は L/K に付随するノルム写像、I c
L  は L の c と素な分数イデアルである。そのようなモジュラス c は L/K の定義モジュラスと呼ばれる。最小な定義モジュラスを L/K の導手といい、典型的には ${\textstyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ と書く。

${\displaystyle d\neq 1}$ を平方因子を持たない整数とし、K = Q、${\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ とすると、ガロア群 Gal(L/Q) は {±1} と同一視される。Q 上の L の判別式 Δ は、d ≡ 1 (mod 4) ならば d、そうでないならば 4d となる。従って、アルティン写像はΔ を割らないような素数 p にたいし

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

と定義される。ここに ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$ はクロネッカーの記号（英語版）(Kronecker symbol)である^[8]。さらに具体的には、L/Q の導手は、Δ が正ならば (Δ)、負であれば (Δ)∞ であり^[9]、分数イデアル群 (n) 上のアルティン写像はクロネッカーの記号 ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right)}$ により与えられる。このことから、素数 p が L で分解するか否かは、${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$ が 1 であるか、−1 であるかに従う。

m (>1) を奇数かもしくは、4 の倍数とし、ζ_m を 1の原始 m乗根とし、L = Q(ζ_m) を m次の円分体とする。ガロア群 Gal(L/Q) は (Z/mZ)^× と次の写像によって同一視することができる。σを

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

により与えられる a_σ にうつす。L/Q の導手は (m)∞ であり^[10]、 m と素なイデアル (n) 上のアルティン写像は、単純に (Z/mZ)^× の元 n (mod m) である^[11]。

p と ℓ を異なる奇素数とし、ℓ* = (−1)^(ℓ−1)/2ℓ (いつも 1 (mod 4) である) とする。二次相互法則とは

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right)}$

なる関係のこと。二次相互法則とアルティン相互法則の関係は、次のように、二次体 ${\displaystyle \scriptstyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {\ell ^{\ast }}})}$ と円分体 ${\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} (\zeta _{\ell })}$ を研究することで得られる^[8]。この F は L の部分体である。H = Gal(L/F) および G = Gal(L/Q) とすると、Gal(F/Q) = G/H である。G/H は位数が 2 であるので、部分群 H は G=(Z/ℓZ)^× において平方元全体のなす部分群である。アルティン記号の基本的性質により、ℓと素なイデアル (n) に対し、

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbf {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbf {Q} }{(n)}}\right){\text{ (mod }}H).}$

となることがわかる。とくに n = p とすると、${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=1}$ であることと、H の中で p (mod ℓ) であること、すなわち、p は modulo ℓ で二乗であることが同値であることがわかる。

大域相互法則のコホモロジー的な証明は、まず

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}$

がアルティン・テイトの意味で類構造（英語版）を成すことを確かめることで達成される^[12]。そうすれば、

${\displaystyle {\hat {H}}{}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}{}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} )}$

が証明される。ここに ${\displaystyle {\hat {H}}{}^{i}}$ はテイトコホモロジー群（英語版）を表す。コホモロジー群の計算により θ が同型であることが確かめられる。

アルティン相互法則の別な表し方には、ラングランズ・プログラムに沿って、数体のアーベル拡大に付随するアルティンのL-函数をイデール類群の指標に付随するヘッケのL-函数に関連付ける方法がある。^[13]

数体 K のヘッケ指標（量指標(Größencharakter)）は、K のイデール類群の準指標であると定義される。ロバート・ラングランズは、ヘッケ指標を K のアデール環の上の簡約代数群 GL(1) 上の保型形式と解釈した。^[14]

E⁄K をガロア群 G を持つアーベル的ガロア拡大とすると、任意の指標 σ: G  → C^× （つまり、群 G の1-次元複素表現）に対し、K のヘッケ指標 χ が存在して、

${\displaystyle L_{E/K}^{\operatorname {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\operatorname {Hecke} }(\chi ,s)}$

を満たす。ここに左辺は指標 σ を持つ拡大に付随するアルティン L-函数であり、右辺はヘッケ指数 χ に付随するヘッケ L-函数である(Gelbart 1975, Section 7.D)。

アルティン相互法則のL-函数の等式としての定式化は、直接の対応関係はまだ足りないが、n-次元表現への一般化した定式化になる。

• Artin, Emil (1924). “Über eine neue Art von L-Reihen,”. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3. ; Collected Papers, Addison Wesley, 1965, 105–124
• Artin, Emil (1927). “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”. Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 5: 353–363. ; Collected Papers, 131–141
  • 片山孝次「Artinの一般相互法則に関する諸論文」『津田塾大学数学・計算機科学研究所報』第7号、津田塾大学数学・計算機科学研究所、1994年。https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/honyaku/shohou7.pdf。 ; 上記2論文の日本語訳が掲載されている。
• Artin, Emil (1930). “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes”. Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 7: 46–51. ; Collected Papers, 159–164

• Frei, Günther (2004), “On the history of the Artin reciprocity law in abelian extensions of algebraic number fields: how Artin was led to his reciprocity law”, in Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene, The legacy of Niels Henrik Abel. Papers from the Abel bicentennial conference, University of Oslo, Oslo, Norway, June 3--8, 2002, Berlin: Springer-Verlag, pp. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, MR2077576, Zbl 1065.11001 
• Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields, Pure and Applied Mathematics, 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4 
• Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, 110 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94225-4, MR1282723 
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66957-9, MR1761696, Zbl 0949.11002 
• Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.), http://jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html 2010年2月22日閲覧。 
• Neukirch, Jürgen (1992), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer 
  • 英訳: Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Translated from the German by Norbert Schappacher, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021 
  • 日本語訳: J. ノイキルヒ 著、足立恒雄監修、梅垣敦紀 訳『代数的整数論』シュプリンガーフェアラーク、東京、2003年。 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Translated from the French by Marvin Jay Greenberg, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90424-7, Zbl 0423.12016 
• Serre, Jean-Pierre (1967), VI. Local class field theory, in Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A., “Algebraic number theory.”, Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union (London: Academic Press): 128-161, Zbl 0153.07403 
• Tate, John (1967), VII. Global class field theory, in Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A., “Algebraic number theory.”, Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union (London: Academic Press): 162-203, Zbl 0153.07403