ウィルコクソンの符号順位検定

ウィルコクソンの符号順位検定（ふごうじゅんいけんてい、英: Wilcoxon signed-rank test）は一対の標本によるノンパラメトリック検定法である。対応のあるt検定に対応し、対応のあるt検定で必要とされる仮定が満たされない場合に用いる。ウィルコクソン（Frank Wilcoxon、1892-1965）によって「ウィルコクソンの順位和検定」（マン・ホイットニーのU検定に同じ）とともに開発された。

方法

全2n 回の観察で、n 個の対象に対し各2回の観察を行うとする。iで各対象を表し、iに対する1回目の測定値を $x_{i}$ 、2回目の測定値を $y_{i}$ とする。

次のように仮定する。

$i=1,\ldots ,n$ に対し $Z_{i}=Y_{i}-X_{i}$ とする。各差 $Z_{i}$ は互いに独立とする。
各 $Z_{i}$ は連続的母集団（同じでなくてよい）に由来し、共通の中央値 $\theta$ に関して対称とする。

帰無仮説 $H_{0}$ を $\theta =0$ とする。絶対値 $|Z_{1}|,\ldots ,|Z_{n}|$ を順番に並べ、各 $|Z_{i}|$ の順位を $R_{i}$ として、これからウィルコクソンの符号順位統計量 $W^{+}$ を計算する。 $\phi _{i}=I(Z_{i}>0)$ （ただし $I(.)$ は指示関数、すなわち $Z_{i}>0$ のとき $I(Z_{i})=1$ 、 $Z_{i}=<0$ のとき $I(Z_{i})=0$ ）とする。ウィルコクソンの符号順位統計量 $W^{+}$ を

W^{+}=\sum _{i=1}^{n}\phi _{i}R_{i}

により求める。

前後2回データを収集した場合の点数（中心点が0と期待される）の差を検定するのによく用いられる。中心点と完全に一致する点数は除外し、残りの点数の中心点からの偏差の絶対値を順位化し、最小の偏差が順位1となるようにする。タイ（同順位）点数には平均順位を充てる。中心点からの正・負の両偏差ごとに順位の和を計算する。両順位和の小さい方をSとする。そしてSを順位分布の数表と比較してp値（中心点の周りに対称に分布する点数母集団から、その値以上のS値が得られる確率）を求める。

nが多くなるとSの分布は平均 ${\dfrac {n(n+1)}{4}}$ 、分散 ${\dfrac {n(n+1)(2n+1)}{24}}$ の正規分布に近づく^[1]ので、10より大きいnに対してはp値を求めるのに正規分布を用いることが多い。