エントロピー最大化モデル

「最大エントロピー法」とは異なります。

エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、英語: Entropy Maximising Models）は、アラン・G・ウィルソン（英語版）により導出された空間的相互作用モデルである^[1]。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた^[1]。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された^[2]。

発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される^[3]。

発生―吸収制約モデルの場合

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}$

(1)

ただし${\displaystyle A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}B_{j}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}}}$ ${\displaystyle B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}A_{i}O_{i}\exp(-\beta d_{ij})}}}$

発生制約モデルの場合

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}O_{i}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})}$

(2)

ただし${\displaystyle A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})}}}$

吸収制約モデルの場合

${\displaystyle T_{ij}=B_{j}{V_{i}}^{\alpha }D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}$

(3)

ただし${\displaystyle B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}{V_{i}}^{\alpha }\exp(-\beta d_{ij})}}}$

発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。

発地を${\displaystyle m}$個、着地を${\displaystyle n}$個、流動数の総和を${\displaystyle T}$^{[注釈 1]}、地域${\displaystyle i}$から地域${\displaystyle j}$への流動を${\displaystyle T_{ij}}$とする^[1]。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい^[4]。このときの制約条件は以下の通りである（ただし${\displaystyle C}$は総移動費用）^[5]。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}T_{ij}=O_{i}}$

(4)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}T_{ij}=D_{j}}$

(5)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij}=C}$

(6)

ここでは${\displaystyle T}$を${\displaystyle T_{ij}}$に分配する、場合の数${\displaystyle W(T_{ij})}$の最大値の決定を行えばよい^[5]。このとき、

${\displaystyle {\begin{aligned}W(T_{ij})&={\binom {T}{T_{11}}}{\binom {T-T_{11}}{T_{12}}}{\binom {T-T_{11}-T_{12}}{T_{13}}}\cdots {\binom {T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1}}{T_{mn}}}\\&={\frac {T!}{T_{11}!(T-T_{11})!}}\cdot {\frac {(T-T_{11})!}{T_{12}!(T-T_{11}-T_{12})!}}\cdots {\frac {(T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1})!}{T_{mn}!0!}}\\&={\frac {T!}{\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}{T_{ij}!}}}\end{aligned}}}$

(7)

が成立する^[6][7]。ここで、最大値の導出のために、式(7)の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる^[8]。

${\displaystyle \ln W(T_{ij})=\ln T!-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\ln {T_{ij}!}}}$

(8)

ここで、スターリング近似により、${\displaystyle T}$が十分に大きいとき${\displaystyle \ln T_{ij}!\approx T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij}}$が成り立つため

${\displaystyle \ln W(T_{ij})=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})}$

(9)

が導かれる^[8]。よって、${\displaystyle \ln W(T_{ij})}$の最大化を目標としていく^[6]。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる^[5]。${\displaystyle \lambda _{i}}$は式(4)、${\displaystyle \gamma _{j}}$は式(5)、${\displaystyle \beta }$は式(6)のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数${\displaystyle L}$は

${\displaystyle L=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(O_{i}-\sum _{j=1}^{n}T_{ij})+\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}(D_{j}-\sum _{i=1}^{m},T_{ij})+\beta (C-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij})}$

(10)

となる^[5]。ここで、${\displaystyle L}$の最大値を与える${\displaystyle T_{ij}}$は、偏微分方程式${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=0}$を解くことで求められる^[9]。よって、以下の式が成り立つ^[10]。

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij}=0}$

(11)

式変形すると、以下の式が得られる^[10]。

${\displaystyle T_{ij}=\exp(-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}$

(12)

さらに式変形すると、以下の式が得られる^{[注釈 2]}。

${\displaystyle T_{ij}={\frac {O_{i}}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}\cdot {\frac {D_{j}}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}\cdot \beta d_{ij}}$

(13)

が得られる^[10]。このとき、

${\displaystyle A_{i}={\frac {\exp(-\lambda _{i})}{O_{i}}}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}}$

(14)

${\displaystyle B_{j}={\frac {\exp(-\gamma _{j})}{D_{j}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}}$

(15)

とおくと、式(13)は

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}$

(16)

と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた^[11]。

この他、発生制約モデルの場合は式(4)・式(6)を、吸収制約モデルの場合は式(5)・式(6)を、無制約モデルの場合は式(6)を制約条件として使用することで導出できる^[12]。

• 石川義孝『空間的相互作用モデル―その系譜と体系―』地人書房、1988年。ISBN 4-88501-061-6。 
• 高阪宏行「空間的相互作用モデルとその展開」『人文地理学研究』第3巻、1979年、1-11頁。 
• 杉浦芳夫 著「空間的相互作用モデルの近年の展開」、野上道男、杉浦芳夫 編『パソコンによる数理地理学演習』古今書院、1986年、138-185頁。ISBN 4-7722-1366-X。 
• 張長平「空間的相互作用による地域間の人口移動分析―在日中国人を事例として―」『国際地域学研究』第14巻、2011年、1-13頁。 
• 村山祐司 著「地域間の流動をみいだす」、村山祐司・駒木伸比古 編『新版 地域分析』古今書院、2013年、159-170頁。ISBN 978-4-7722-5272-0。