オイラー＝ロトカの方程式

オイラー゠ロトカの方程式（オイラー゠ロトカのほうていしき、英: Euler-Lotka Equation）は、人口学、生態学、疫学等の分野において、世代間隔分布と指数成長率とを関連づける法則であり、年齢構造をもつ人口増加の研究分野では最も重要な関係式の1つである。ロトカ゠オイラーの方程式またはロトカの特性方程式^[1]と呼ばれることもある。

人口の増減やその年齢構成を統計的に扱う人口学の分野は、18世紀のレオンハルト・オイラーの初期の研究にその端緒を見ることができ、20世紀初頭に アルフレッド・J・ロトカにより大きく発展させられた。オイラー゠ロトカ方程式は、1760年に1つの離散時間形の式を導いたオイラー、 および、一般的に連続時間形の式を導いたロトカの研究にちなんでいる。その離散時間形の方程式は、（年を時間の単位として）次式で表される。

${\displaystyle 1=\sum _{a=0}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)}$

ここで、${\displaystyle \lambda }$はその集団の個体数の1年間の成長率（人口の対前年比）、${\displaystyle \ell (a)}$は${\displaystyle a}$歳まで生存する個体の生存率、${\displaystyle b(a)}$は${\displaystyle a}$歳の個体が1年間で出生する子孫数を表す年齢別出生率である。${\displaystyle \omega }$はその集団の最高年齢であり、総和はその生体の全寿命にわたって行われるものとする。

A・J・ロトカは1911年に次のような人口動態の連続時間モデルを開発した。このモデルは、対象とする集団人口のうち女性のみを追跡する^[2][3]。

ある集団で年齢${\displaystyle a}$歳までの生存率を${\displaystyle \ell (a)}$、${\displaystyle a}$歳の母親1人が年間出生する娘の数、年齢別子孫出生率を${\displaystyle b(a)}$とし、これらは世代にわたって安定で変化しないものとする。また、時刻${\displaystyle t}$年の集団全体での年間子孫（女性）出生数を${\displaystyle B(t)}$とする。このとき、時刻${\displaystyle t}$で年齢${\displaystyle a}$の母親の数は${\displaystyle B(t-a)\ell (a)}$であり、それに${\displaystyle b(a)}$を掛けた値は彼女らが1年間で出生する子孫数となるので、その総和は集団全体の全子孫出生数${\displaystyle B(t)}$となる（ロトカの積分方程式または再生方程式）。

${\displaystyle B(t)=\int _{0}^{\omega }B(t-a)\ell (a)b(a)\,da.}$

ただし、${\displaystyle \omega }$はその集団の最高年齢である。

次に、集団全体の人口は指数関数的に増加（または減少）しているとして、${\displaystyle B(t)=Ae^{rt}}$の形で表されると仮定する。これを上の積分方程式に用いると、

${\displaystyle Ae^{rt}=\int _{0}^{\omega }Ae^{r(t-a)}\ell (a)b(a)\,da}$

つまり、

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\omega }e^{-ra}\ell (a)b(a)\,da.}$

となる（連続時間形のロトカ゠オイラーの方程式）。

連続変数としての年齢${\displaystyle a}$を年単位で離散的に選び、積分を総和に置き変えることにより、次のように離散時間形に書き直すことができる。

${\displaystyle 1=\sum _{a=0}^{\omega }e^{-ra}\ell (a)b(a)}$

単位時間ステップ（1年）の成長率${\displaystyle e^{r}}$を${\displaystyle \lambda }$ 置き変えると、先に示した離散時間の方程式

${\displaystyle 1=\sum _{a=0}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)}$

が得られる。

1. ^ 稲葉寿『数理人口学』東京大学出版会、2002年、p.29頁。ISBN 978-4130669016。 
2. ^ J. Wallinga and M. Lipsitch (2007). “How generation intervals shape the relationship between growth rates and reproductive numbers”. Proceedings of Royal Society B 274: 599-604. doi:10.1098/rspb.2006.3754. 
3. ^ 山内庄司 (2020年6月11日). “世代間隔分布に基づいた成長率・再生産数間の関係について”. Sho-Yamaのホームページ. 2020年6月22日閲覧。

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