代数的整数論 において、すべての円分体 は有理数体 Q のアーベル拡大 であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体 はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群 がアーベル群 である体に含まれる代数的整数 は、1の冪根 の有理係数による和として表すことができる。例えば、
5
=
e
2
π
i
/
5
−
e
4
π
i
/
5
−
e
6
π
i
/
5
+
e
8
π
i
/
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}}
である。この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) とハインリッヒ・マルチン・ウェーバー （英語版 ）
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体 と体の拡大 のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。つまり、Q 上のガロア群がアーベル群 である代数体 は、ある1のべき根 を有理数体Q に添加して得られる体の部分体である。
Q のアーベル拡大 K が与えられると、K を含む最小な 円分体が存在する。この定理によって、K の導手 n を 1 の n 乗根により生成される体に K が含まれるような最小の整数 n として定義できる。例えば、二次体 の導手は、それらの判別式 （英語版 ） 絶対値 であり、これは類体論 で一般化される事実である。
定理は最初に Kronecker (1853 ) Weber (1886 )Neumann (1981) により指摘、修正されている。最初に完全な証明をしたのは Hilbert (1896 )
Lubin and Tate (1965 , 1966 ) は、局所体 の任意のアーベル拡大は円分拡大とルービン・テイトの拡大 （英語版 ） Hazewinkel (1975 ) , Rosen (1981 ) , Lubin (1981 ) は別証明を与えた。
ヒルベルトの第12問題 は、クロネッカー・ウェーバーの定理を有理数体以外の体を基礎体として一般化することができるかと問い、その体では1のべき根の類似物は何かを問うている。
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