ゼータ函数 (作用素)

作用素 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ のゼータ函数は、以下のように定義される関数である。

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} {\mathcal {O}}^{-s}}$

の右辺が存在するような s に対してはこの式で、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。

ゼータ函数は、次の式で作用素 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ の固有値 ${\displaystyle \lambda _{i}}$ によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function)^[1] としても表現できる。

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{\lambda _{i}}\lambda _{i}^{-s}\ .}$

これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは

${\displaystyle \det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;}$

で与えられる。

ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。

また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。

さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、アラケロフ理論（英語版）の最も重要な動機の一つになっている。^[2]

• Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings, Springer Monographs in Mathematics, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-33285-5, Zbl 1119.28005 
• Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory, Theoretical and Mathematical Physics, Springer-Verlag, p. 98, ISBN 94-007-0204-3