数論幾何学 のテイト・シャファレヴィッチ群 英 : Tate–Shafarevich group ）とは、代数体
K アーベル多様体
A 群スキーム （英語版 ） 群
Ш(A /K )
のことである。これはヴェイユ・シャトレ群
WC(A /K ) = H1 (G K A )
の元で
K K p 進体ガロアコホモロジー を使うと
⋂
v
k
e
r
(
H
1
(
G
K
,
A
)
→
H
1
(
G
K
v
,
A
v
)
)
{\displaystyle \bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right)}
と書くことができる。この群はサージ・ラング とジョン・テイト とイゴール・シャファレヴィッチ によって考え出された。キリル文字 のШ （シャファレヴィッチのシャー）を使う
Ш(A /K )
という表記はキャッセルズ （英語版 ） TS
という記号が使われていた。
幾何学的には、テイト・シャファレヴィッチ群の自明でない元は、K 素点
v Kv 有理点 を持つが、しかし
K A K ハッセの原理 がどのくらい成り立たないかを測っている。Lind (1940) は、種数1の曲線
x 4 − 17 = 2y 2 p Selmer (1951) は
3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0
などたくさんの例を与えた。
特別な場合であるアーベル多様体のある与えられた有限位数
n セルマー群 と密接に関係している。
テイト・シャファレヴィッチ予想とは、テイト・シャファレヴィッチ群は有限であろうという予想である。カール・ルービン は虚数乗法 を持ち階数が1以下のある楕円曲線 についてこれを証明した。ヴィクター・コリヴァギン はこれを解析的階数が1以下の有理数体上のモジュラーな楕円曲線に拡張した（後に証明されたモジュラー性定理 により、モジュラー性の仮定は常に満たされる）。
キャッセルズ・テイト対 （Cassels–Tate pairing）はアーベル多様体
A Â 双線型対 （英語版 ） Ш(A ) × Ш(Â ) → Q /Z
である。キャッセルズはこれを楕円曲線 の場合に導入した。この場合、A Â 交代形式 である。この形式の核は可除な元のなす部分群であり、テイト・シャファレヴィッチ予想が正しければこれは自明な群である。テイトはこの対をテイト双対性 （英語版 ） A
の偏極 を選ぶと
A Â Q /Z Ш(A )
上の双線型対を誘導する。楕円曲線の場合と異なり、これは交代的とは限らず歪対称 でもないかもしれない。
キャッセルズは楕円曲線の場合にこのペアリングは交代的であることを示した。これから、Ш
の位数が有限であればそれは平方数であることがわかる。一般のアーベル多様体について、Ш
の位数が有限であればそれは平方数だろうと何年ものあいだ誤って信じられてきた。これは
Tate (1963)
の結果の1つの引用の仕方を誤った
Swinnerton-Dyer (1967)
に端を発する。プーネン（Poonen）とシュトール（Stoll）は位数が平方数の2倍である例をいくつか与えた。有理数体上の種数が2のある曲線のヤコビ多様体 でそのテイト・シャファレヴィッチ群の位数が2であるようなものなどである。スタインは位数を割り切る奇素数の冪指数が奇数となる例を与えた。アーベル多様体が主偏極を持てば
Ш
上のこの形式は歪対称である。これは
Ш
の位数は（有限ならば）平方数または平方数の2倍であることを意味する。さらに、主偏極が（楕円曲線の場合のように）有理因子からきている場合には、この形式は交代的であり、Ш
の位数は（有限ならば）平方数である。
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