ハイパー完全数

ハイパー完全数（ハイパーかんぜんすう、英: hyperperfect number）とは以下の数式を満たす自然数 n である。

${\displaystyle n=1+k(\sigma (n)-n-1)}$

ただしk は自然数、σ(n) は約数関数である。

ハイパー完全数は自然数 k を用いて k -ハイパー完全数と表す。ハイパー完全数は完全数を発展させた数で、完全数は 1-ハイパー完全数である。

具体的な k -ハイパー完全数は 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A034897)

これらの数に対応する k の値は1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A034898)

またこれらの数の中で完全数ではないが k -ハイパー完全数である数は21, 301, 325, 697, 1333, ...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A007592)

以下に k の値に対応する最初の数個の k -ハイパー完全数のリストを載せる。

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. p. 114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 
• Minoli, Daniel; Bear, Robert (Fall 1975), “hyperperfect numbers”, Pi Mu Epsilon Journal 6 (3): 153–157 .
• Minoli, Daniel (Dec 1978), “Sufficient forms for generalized perfect numbers”, Annales de la Faculté des Sciences UNAZA 4 (2): 277–302 .
• Minoli, Daniel (Feb 1981), “Structural issues for hyperperfect numbers”, Fibonacci Quarterly 19 (1): 6–14 .
• Minoli, Daniel (April 1980), “Issues in non-linear hyperperfect numbers”, Mathematics of Computation 34 (150): 639–645, doi:10.2307/2006107 .
• Minoli, Daniel (October 1980), “New results for hyperperfect numbers”, Abstracts of the American Mathematical Society 1 (6): 561 .
• Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980), “Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms”, International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing .
• McCranie, Judson S. (2000), “A study of hyperperfect numbers”, Journal of Integer Sequences 3, オリジナルの2004年4月5日時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20040405175234/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html .
• te Riele, Herman J.J. (1981), “hyperperfect numbers with three different prime factors”, Math. Comp. 36: 297–298, doi:10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9, MR595066, Zbl 0452.10005 .
• te Riele, Herman J.J. (1984), “Rules for constructing hyperperfect numbers”, Fibonacci Q. 22: 50-60, Zbl 0531.10005 .
• Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114-134)

• MathWorld: Hyperperfect number
• A long list of hyperperfect numbers under Data

表 話 編 歴 被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解 約数 単約数 約数関数 素因数 算術の基本定理
因数分解による分類	素数 合成数 半素数 矩形数 楔数 平方因子をもたない整数 多冪数 累乗数 アキレス数 滑らかな数（英語版） ハミング数（英語版） 粗い数（英語版） 異常数（英語版）
約数和による分類	完全数 概完全数 準完全数 倍積完全数 Hemiperfect number（英語版） ハイパー完全数 超完全数 単完全数（英語版） 擬似完全数 プラクティカル数 エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数 原始過剰数（英語版） 高度過剰数 超過剰数 巨大過剰数 高度合成数 優高度合成数（英語版） 不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版） 友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数 婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版） ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版） スミス数
その他	Arithmetic number（英語版） 不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版） サブライム数 調和数 デカルト数（英語版） タウ数 超完全数