ファイゲンバウム定数

この記事は英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。（2024年5月） 翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。 英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Feigenbaum constants|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。

ファイゲンバウム定数（Feigenbaum constant）は、ミッチェル・ファイゲンバウムの名にちなんで名付けられた、2つの数学定数である。

両方とも分岐図の比に表れる。

1975年にファイゲンバウムにより発見された^[1]。これらの数は、証明はされていないが、超越数であろうと考えられている^[2]。

次のような差分方程式の${\displaystyle \mu }$の変化による分岐において、

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})=1-\mu |x_{n}|^{z},\qquad (z>0,\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )}$

1つめのファイゲンバウム定数${\displaystyle \delta }$は、

${\displaystyle \delta _{z}=\lim _{i\rightarrow \infty }{\dfrac {\mu _{i}-\mu _{i-1}}{\mu _{i+1}-\mu _{i}}}}$

2つめのファイゲンバウム定数${\displaystyle \alpha }$は、

${\displaystyle \alpha _{z}=\lim _{i\rightarrow \infty }{\dfrac {d_{i}}{d_{i+1}}}}$

で与えられる^[3]。上記の差分方程式では周期倍分岐が発生し、${\displaystyle i}$番目の周期倍分岐毎に${\displaystyle x_{n}}$の振る舞いは${\displaystyle 2^{i}}$周期振動に変化する^[3]。ここで、${\displaystyle \mu _{i}}$は${\displaystyle i}$番目の周期倍分岐点における${\displaystyle \mu }$の値、${\displaystyle d_{i}}$は${\displaystyle 2^{i}}$周期振動における0に近い側の分岐の枝の幅。 ${\displaystyle z}$の値によって、${\displaystyle \delta _{z}}$、${\displaystyle \alpha _{z}}$の値は変化する^[3]。

${\displaystyle z=2}$のときはファイゲンバウム定数は以下のような値に収束する^[1]。

${\displaystyle \delta _{2}=\lim _{i\rightarrow \infty }{\dfrac {\mu _{i}-\mu _{i-1}}{\mu _{i+1}-\mu _{i}}}=4.669201609\cdots }$

（オンライン整数列大辞典の数列 A006890）

${\displaystyle \alpha _{2}=\lim _{i\rightarrow \infty }{\dfrac {d_{i}}{d_{i+1}}}=2.502907875\cdots }$

（オンライン整数列大辞典の数列 A006891）

これは基となる差分方程式がロジスティック写像の場合に相当する。特に、単にファイゲンバウム定数${\displaystyle \delta }$と言えば、上記の${\displaystyle \delta _{2}=4.669201609\cdots }$のことを指す場合が多い^[1]。

ファイゲンバウム定数は分岐図における分岐の間隔を意味する他、マンデルブロ集合における連続する2つの円の直径の正弦比を表す。

• A006890 - Decimal expansion of Feigenbaum bifurcation velocity オンライン整数列大辞典
• A006891 - Decimal expansion of Feigenbaum reduction parameter オンライン整数列大辞典