フロイデンタールのスペクトル定理

数学におけるフロイデンタールのスペクトル定理（フロイデンタールのスペクトルていり、英: Freudenthal spectral theorem）とは、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間論の一結果である。大まかに言うと、単項射影性質（principal projection property; 主射影性質）を持つリース空間内の一つの正元によって支配される任意の元は、ある種の単関数により一様に近似できる、ということが述べられている定理である。

数多くの有名な結果が、フロイデンタールのスペクトル定理から得られる。例えば、有名なラドン＝ニコディムの定理やポアソンの公式の正当性、正規作用素の理論によるスペクトル定理などは、フロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合として従うことが示される。

e はリース空間 E に属する任意の正元とする。E の正元 p が e の成分 (component) であるとは、p ⊥ (e − p) が成立することを言う^[1]。p₁, p₂, …, p_n が互いに素な e の成分であるとき、p₁, p₂, …, p_n の任意の実線型結合を e-単関数と呼ぶ。

定理 (Freudenthal)^[2]

単項射影性質を持つリース空間 E と E の任意の正元 e について、e の生成する主イデアル内の任意の元 f に対して、適当な e-単関数列 {s_n} および {t_n} が存在して、それぞれ下から単調に、および上から単調に、f に e-一様に収束する。

${\displaystyle (X,\Sigma )}$ を測度空間とし、${\displaystyle M_{\sigma }}$ を ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ 上の符号付 ${\displaystyle \sigma }$-加法的測度の実空間とする。${\displaystyle M_{\sigma }}$ は全変動ノルム（英語版）を備えるデデキント完備なバナッハ束であり、したがって主射影性を持つことが示される。任意の正測度 ${\displaystyle \mu }$ に対し、上述のように定義される ${\displaystyle \mu }$-単関数は、${\displaystyle (X,\Sigma )}$ 上の ${\displaystyle \mu }$-可測単関数と（通常の意味で）ちょうど対応することが示される。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理より、${\displaystyle \mu }$ によって生成される帯（band）内の任意の測度 ${\displaystyle \nu }$ は ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ 上の ${\displaystyle \mu }$-可測単関数によって下から単調な方法で近似されるため、ルベーグの単調収束定理より、${\displaystyle \nu }$ はある ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$ 関数に対応し、${\displaystyle \mu }$ によって生成される帯とバナッハ束 ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$ の間の等長束同型を構成することが示される。

• ラドン＝ニコディムの定理

• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introduction to Operator Theory in Riesz spaces, Springer, ISBN 3-540-61989-5 
• Zaanen, Adriaan C.; Luxemburg, W. A. J. (1971), Riesz spaces I, North-Holland, ISBN 0-7204-2451-8