ルベーグの密度定理数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 A に対して、A のほとんど至るところにおいて A の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、A の「境界」(つまり、A の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合)は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。 μ を Rn 上のルベーグ測度とし、 A を Rn のルベーグ可測な部分集合とする。Rnの点 x の ε-近傍における A の近似密度を次のように定める。 ここで、Bεは x を中心とする半径 ε の閉球体である。 ルベーグの密度定理は A の殆ど全ての点 x に対して密度 が存在してそれが 1 に等しいと主張する。 言い換えると、いかなる可測集合 A に対しても、Rn のほとんど至るところで A の密度は 0 か 1 である[1]。それにもかかわらず、「μ(A) > 0 かつ μ(Rn ∖ A) > 0 ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような Rn の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。 密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合(もちろん正方形の境界のこと)は空ではないが、(零集合になるという意味で)無視できる。 ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合である。 関連項目
参考文献
この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Lebesgue density theoremの本文を含む |
Index:
pl ar de en es fr it arz nl ja pt ceb sv uk vi war zh ru af ast az bg zh-min-nan bn be ca cs cy da et el eo eu fa gl ko hi hr id he ka la lv lt hu mk ms min no nn ce uz kk ro simple sk sl sr sh fi ta tt th tg azb tr ur zh-yue hy my ace als am an hyw ban bjn map-bms ba be-tarask bcl bpy bar bs br cv nv eml hif fo fy ga gd gu hak ha hsb io ig ilo ia ie os is jv kn ht ku ckb ky mrj lb lij li lmo mai mg ml zh-classical mr xmf mzn cdo mn nap new ne frr oc mhr or as pa pnb ps pms nds crh qu sa sah sco sq scn si sd szl su sw tl shn te bug vec vo wa wuu yi yo diq bat-smg zu lad kbd ang smn ab roa-rup frp arc gn av ay bh bi bo bxr cbk-zam co za dag ary se pdc dv dsb myv ext fur gv gag inh ki glk gan guw xal haw rw kbp pam csb kw km kv koi kg gom ks gcr lo lbe ltg lez nia ln jbo lg mt mi tw mwl mdf mnw nqo fj nah na nds-nl nrm nov om pi pag pap pfl pcd krc kaa ksh rm rue sm sat sc trv stq nso sn cu so srn kab roa-tara tet tpi to chr tum tk tyv udm ug vep fiu-vro vls wo xh zea ty ak bm ch ny ee ff got iu ik kl mad cr pih ami pwn pnt dz rmy rn sg st tn ss ti din chy ts kcg ve
Portal di Ensiklopedia Dunia