ルーシェの定理

ルーシェの定理 (仏: Théorème de Rouché、英: Rouché's theorem)は、フランスの数学者であるEugène Rouché (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。

定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

${\displaystyle D\ }$ を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、${\displaystyle \partial D}$ をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする）、${\displaystyle K\ }$ を ${\displaystyle D\ }$ の閉包 （= ${\displaystyle D+\partial D\ }$） とし、${\displaystyle f(z)\ }$ および ${\displaystyle g(z)\ }$ を${\displaystyle K\ }$ 上で定数でない正則な複素関数で、${\displaystyle \partial D\ }$上で、${\displaystyle |f(z)|>|g(z)|\ }$ を満たすとすれば、 ${\displaystyle D\ }$ 内での ${\displaystyle f(z)+g(z)\ }$ と ${\displaystyle f(z)\ }$ の零点の個数 （ただし位数nの零点はn個として数える）は一致する。

${\displaystyle \partial D}$ 上では、${\displaystyle |f(z)|>|g(z)|}$ という条件から、${\displaystyle |f(z)|>0}$ であり、

${\displaystyle \log(f(z)+g(z))=\log f(z)+\log(1+g(z)/f(z))}$

と書くことができる。 ${\displaystyle f(z)}$ および ${\displaystyle g(z)}$ は ${\displaystyle D}$ で極を持たないので偏角の原理 から ${\displaystyle f(z)+g(z)}$ の ${\displaystyle D}$ 内における零点の個数をnとすれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz\\&={\frac {1}{2\pi i}}\left[\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz+\oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz\right]\end{aligned}}}$

である。

ここで ${\displaystyle \omega \colon K\to \mathbb {C} }$ を、${\displaystyle \omega (z)=1+g(z)/f(z)}$ で定義する。前述のように${\displaystyle \partial D}$ 上では ${\displaystyle |f(z)|>0}$ であり、${\displaystyle f(z)}$ および ${\displaystyle g(z)}$ は ${\displaystyle K}$ 上で正則であるから、${\displaystyle \omega (z)}$ は ${\displaystyle \partial D}$ 上で正則である。従って ${\displaystyle \omega (z)}$ による ${\displaystyle \partial D}$ の像を ${\displaystyle C}$ とすれば、 ${\displaystyle C}$ も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、

${\displaystyle \oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz=\oint _{\partial D}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}{\frac {d\omega }{dz}}dz=\oint _{C}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}d\omega }$

である。結局この式の値は ${\displaystyle \log \omega }$ を ${\displaystyle C}$ 上のある点を始点として ${\displaystyle C}$ に沿って一周した場合の増分になるが、${\displaystyle \partial D}$ 上では ${\displaystyle |f(z)|>|g(z)|}$ という条件から ${\displaystyle C}$ 上では ${\displaystyle \operatorname {Re} \omega }$ は正であり、 ${\displaystyle C}$ は ${\displaystyle \log \omega }$ の分岐点である ${\displaystyle \omega =0}$ を一周しないので、その値は 0 である。従って、

${\displaystyle n={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz}$

が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。

${\displaystyle f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$

を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、${\displaystyle f(z)\ }$ が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。

${\displaystyle R\ }$ を正の実数とし、${\displaystyle D=\{z\mid |z|<R\}\ }$ と置く。また、

${\displaystyle g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\ }$

${\displaystyle h(z)=z^{n}\ }$

と置く。${\displaystyle R\ }$ を十分大きく取れば ${\displaystyle \partial D\ }$ 上で ${\displaystyle |h(z)|>|g(z)|\ }$ が成立するので、 ${\displaystyle D\ }$ 内における ${\displaystyle h(z)\ }$ と ${\displaystyle h(z)+g(z)\ }$ (= ${\displaystyle f(z)\ }$ ) の零点の個数は一致し、 ${\displaystyle h(z)\ }$ の形から明らかなように、その値は n となる。

• リーマンの写像定理

• 遠木幸成・阪井章　『関数論』　学術図書出版社、1966年、82-83頁。
• 松田哲　『複素関数』　岩波書店、1996年、110-111頁。