三線極線

ユークリッド幾何学において、三線極線（さんせんきょくせん、英:trilinear polar）とは三角形と点について一意的に決まる直線のひとつである^[1]^[2]^[3]。1865年、フランスの数学者ポンスレ (1788–1867)によって提言された^[1]^[4]。

定義

$△ ABC$ と点 $P$ のチェバ三角形の配景の軸を $P$ の三線極線と言う。

つまり $AP, BP, CP$ と $BC, CA, AB$ の交点を $D, E, F$ 、それぞれ直線の組 $(BC, EF), (CA, FD), (DE, AB)$ の交点を $X, Y, Z$ とすると、デザルグの定理より $X, Y, Z$ は共線である。このとき直線 $XYZ$ を $P$ の三線極線という^[1]。

$△ ABC$ にたいして直線 $L$ が三線極線となるような、点 $P$ を $L$ の三線極点（trilinear pole）または三線極と言う。

三線座標で $P$ を $p : q : r$ とすると $P$ の三線極線は以下の等式で表される^[5]。

{\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}+{\frac {z}{r}}=0.

三線極点

$L$ と $BC, CA, AB$ の交点をそれぞれ $X, Y, Z$ 、直線の組 $(BY, CZ), (CZ, AX), (AX, BY)$ の交点をそれぞれ $U, V, W$ とする。 $△ ABC$ と $△ UVW$ は配景の関係にあり、その配景の中心 $P$ は $L$ の三線極点となる。

三線極線の例

以下に有名な三線極線を挙げる^[6]。

重心の三線極線、無限遠直線
類似重心の三線極線、ルモワーヌ軸
垂心の三線極線、垂軸
三角形の頂点に関しては、三線極線は定義されない

三線極点の束

三線座標で $P$ を $X : Y : Z$ 、 $K$ を $x 0 : y 0 : z 0$ とする。 $P$ の三線極線は以下の式で表される。

{\frac {x}{X}}+{\frac {y}{Y}}+{\frac {z}{Z}}=0.

この直線が $K$ を通る場合、以下のように書くことができる。

{\frac {x_{0}}{X}}+{\frac {y_{0}}{Y}}+{\frac {z_{0}}{Z}}=0.

逆に、この式を満たす $P$ の軌跡は以下の式で表すことができる。

{\frac {x_{0}}{x}}+{\frac {y_{0}}{y}}+{\frac {z_{0}}{z}}=0.

この式が表す曲線は外接円錐曲線 $E$ となる。

$△ ABC$ と、外接円錐曲線 $E$ に対する極三角形は $K$ を中心として配景的である^[7]^[8]。例えば、外接円の極三角形は外接三角形で、外接円上の点に対する三線極線は類似重心を通る。

出典

^ ^a ^b ^c Coxeter, H.S.M. (1993). The Real Projective Plane. Springer. pp. 102–103. ISBN 9780387978895
^ “三角形の心”. taurus.ics.nara-wu.ac.jp. 2024年7月13日閲覧。
^ 『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂書店、1913年、542,566頁。doi:10.11501/930885。
^ Coxeter, H.S.M. (2003). Projective Geometry. Springer. pp. 29. ISBN 9780387406237
^ Weisstein. “Trilinear Polar”. MathWorld—A Wolfram Web Resource. 2012年7月31日閲覧。
^ Weisstein. “Trilinear Pole”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2012年8月8日閲覧。
^ Weisstein. “Perspector”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2023年2月3日閲覧。
^ Weisstein. “Polar Triangle”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2023年2月3日閲覧。