数学、とくに群論 において、群 G の部分集合 S の中心化群 (英 : centralizer ) とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群 であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。
群 G の部分集合 S の中心化群 (centralizer) は次で定義される[ 1]
C
G
(
S
)
=
{
g
∈
G
∣
s
g
=
g
s
for all
s
∈
S
}
{\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs{\text{ for all }}s\in S\}}
文脈から群 G が明らかなときには、表記 CG S ) から G を省くことがある。また S が単集合 {a } のときには中心化群 CG a }) は CG a ) と略記される。この中心化群の別の表記として Z(a ) もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心 の表記と同じになってしまう。この表記では、群 G の中心 Z(G ) と元 g ∈ G 中心化群 Z(g ) とを混同しないよう注意しなければならない。
群 G における S の正規化群 (normalizer) は次で定義される。
N
G
(
S
)
=
{
g
∈
G
∣
g
S
=
S
g
}
{\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}}
中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S gs = tg G を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。S の正規化群を S の正規包 （英語版 ） S の生成する正規部分群 ⟨⟨S ⟩⟩ と混同してはならない。
下記の性質は Isaacs 2009 , Chapters 1−3 による。
S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。明らかに、CG S ) ⊆ NG S ) である。実は、CG S ) は必ず NG S ) の正規部分群である。
CG G S )) は S を含むが、CG S ) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s , t st = ts H が G の可換な部分群であれば CG H ) は H を含む。S が G の部分半群 であれば、NG S ) は S を含む。H が G の部分群であれば、H を正規部分群 として含むような最大の G の部分群が NG H ) である。元 a ∈ G 共役類 の大きさと中心化群の指数 [G : CG a )] は等しい。
群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG H )] は等しい。
G の部分群 H は、NG H ) = H であるときに、G の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。G の中心はちょうど CG であり、G がアーベル群 であることと CG G ) = Z(G ) = G は同値である。単集合 に対して、CG a ) = NG a ) である。対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG S )S ⊆ CG T )
群 G の部分群 H に対して、N/C定理 (N/C theorem ) は、剰余群 NG H )/CG H ) は H の自己同型群 Aut(H ) の部分群に同型 であるという定理である。NG G ) = G および CG G ) = Z(G ) であるから、N/C theorem は、G /Z(G )G のすべての内部自己同型 からなる、Aut(G ) の部分群 Inn(G ) に同型であるということも意味している。
群準同型 T : G → Inn(G )T (x )(g ) = T x g ) = xgx −1 NG S ) と CG S ) を Inn(G ) の G への群作用 の言葉によって記述できる： S の Inn(G ) における安定化群は T (NG S ))S を固定する Inn(G ) の部分群は T (CG S ))
^ Jacobson (2009), p. 41
Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: A Graduate Course 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2 , MR 2472787 , https://books.google.co.jp/books?id=5tKq0kbHuc4C&pg=PA41 Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra I (second ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 , https://books.google.co.jp/books?id=JHFpv0tKiBAC
交換子 (commutator)安定化部分群 (stabilizer subgroup)交換団 (commutant)
