数論では、伊原のゼータ函数 (Ihara zeta-function)は、有限グラフ に付随するゼータ函数 である。伊原のゼータ函数は、セルバーグのゼータ函数 に非常に良く似ていて、閉じた径路を隣接行列 のスペクトル に関係付けることに使われる。伊原のゼータ函数は、最初、1960年代に伊原康隆 により、2 × 2 p -進特殊線型群 の離散部分群 (discrete subgroups)の脈絡の中で定義された。ジャン＝ピエール・セール (Jean-Pierre Serre)は書籍 Trees の中で、伊原の元来の定義はグラフ理論的に解釈することができると示唆している。1985年、砂田利一 は、この示唆を現実のものとした。砂田が述べたように、正則グラフ がラマヌジャングラフ (Ramanujan graph)であることと、グラフの伊原のゼータ函数がラマヌジャン予想 の類似を満たすこととは同値である[ 1]
伊原のゼータ函数はリーマンゼータ函数 のオイラー積 に類似な等式により、次の式で定義することができる。
1
ζ
G
(
u
)
=
∏
p
(
1
−
u
L
(
p
)
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta _{G}(u)}}=\prod _{p}({1-u^{L(p)}})\ .}
この積はグラフ
G
=
(
V
,
E
)
{\displaystyle G=(V,E)}
(
u
i
,
u
(
i
+
1
)
mod
L
(
p
)
)
∈
E
;
u
i
≠
u
(
i
+
2
)
mod
L
(
p
)
{\displaystyle (u_{i},u_{(i+1){\bmod {L}}(p)})\in E~;\quad u_{i}\neq u_{(i+2){\bmod {L}}(p)~}}
であるような閉じたサイクル
p
=
(
u
0
,
⋯
,
u
L
(
p
)
−
1
,
u
0
)
{\displaystyle p=(u_{0},\cdots ,u_{L(p)-1},u_{0})}
L
(
p
)
{\displaystyle L(p)}
p の長さである[ 2]
伊原（とグラフ理論の設定においては砂田）は、正則グラフのゼータ函数は有理函数であることを示した。G が隣接行列 A を持つ k-正則グラフであれば、
ζ
G
(
u
)
=
1
(
1
−
u
2
)
χ
(
G
)
−
1
det
(
I
−
A
u
+
(
k
−
1
)
u
2
I
)
{\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{\chi (G)-1}\det(I-Au+(k-1)u^{2}I)}}\ }
が成り立つ[ 3] 回路のランク （英語版 ）
実は、伊原のゼータ函数は常に多項式の逆数である：
ζ
G
(
u
)
=
1
det
(
I
−
T
u
)
.
{\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~.}
ここに、T は橋本の隣接作用素である。ハイマン・バス （英語版 ）
伊原のゼータ函数は、自由群 、スペクトルグラフ理論 (spectral graph theory)、力学系 、とくにシンボリック力学 （英語版 ） ルエルのゼータ函数 （英語版 ） [ 4]
^ Terras (1999) p.678
^ Terras (2010) p.12
^ Terras (1999) p.677
^ Terras (2010) p.29
Ihara, Yasutaka (1966). “On discrete subgroups of the two by two projective linear group over
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
J. Math. Soc. Japan 18 : 219–235. Zbl 0158.27702 . Sunada, Toshikazu (1986). “L-functions in geometry and some applications”. Curvature and Topology of Riemannian Manifolds . Lecture Notes in Mathematics. 1201 . pp. 266–284. doi :10.1007/BFb0075662 . ISBN 978-3-540-16770-9 . Zbl 0605.58046 Bass, H. (1992). “The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice”. International. J. Math. 3 (6): 717–797. doi :10.1142/S0129167X92000357 . Zbl 0767.11025 . Stark, Harold M. (1999). “Multipath zeta functions of graphs”. In Hejhal, Dennis A. ; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. et al.. Emerging Applications of Number Theory . IMA Vol. Math. Appl.. 109 . Springer. pp. 601-615. ISBN 0-387-98824-6 . Zbl 0988.11040 Terras, Audrey (1999). “A survey of discrete trace formulas”. In Hejhal, Dennis A. ; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. et al.. Emerging Applications of Number Theory . IMA Vol. Math. Appl.. 109 . Springer. pp. 643-681. ISBN 0-387-98824-6 . Zbl 0982.11031 Terras, Audrey (2010). Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 128 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-11367-9 . Zbl 1206.05003 
