圧縮 (関数解析学)

数学の関数解析学の分野において、あるヒルベルト空間からある部分空間 K への線型作用素 T の圧縮（あっしゅく、英: compression）とは、次の作用素のことを言う。

${\displaystyle P_{K}T\vert _{K}:K\rightarrow K.}$

ここで ${\displaystyle P_{K}:H\rightarrow K}$ は K の上への直交射影である。これは全体のヒルベルト空間上のある作用素から、K 上のある作用素を得るために自然に用いられる。K が T についての不変部分空間であるなら、T の K への圧縮は k を Tk へ写す制限 K→K である。

より一般に、ヒルベルト空間 ${\displaystyle H}$ 上のある線型作用素 T と、${\displaystyle H}$ の部分空間 ${\displaystyle W}$ 上のある等長作用素 V に対して、T の ${\displaystyle W}$ への圧縮は次のように定義される。

${\displaystyle T_{W}=V^{*}TV:W\rightarrow W.}$

ここで ${\displaystyle V^{*}}$ は V の共役作用素である。T が自己共役作用素であるなら、圧縮 ${\displaystyle T_{W}}$ もまた自己共役作用素である。V が恒等作用素 ${\displaystyle I:W->H}$ で置き換えられるとき、${\displaystyle V^{*}=I^{*}=P_{K}:H->W}$ となり、上述の特殊な定義が得られる。

• 伸張

• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Second Edition, Springer-Verlag, 1982.

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