数学 における多凸性 （たとつせい、英 : polyconvexity ）とは、行列 の空間上で定義される函数の凸性 の概念の一般化である。主に固体力学 に応用を持つ。特に、固体の歪みエネルギーに対する物理的な条件はふつう多凸（だが凸でない）函数になる。
任意の準凸 （英語版 ）
Ball (1977) は弾性あるいは弾性変形位置エネルギーに対して凸性を仮定することは物理的な状況に合わないこと、つまり弾性ポテンシャルは凸函数でないことがあり得ることを示した。Ball は凸性の概念が制約として強すぎるためより弱い概念で置き換えられるべきであると提唱、自身は解の存在に関するいくらかの結果を定式化できるような制約の弱い合理的な条件として多凸性の定義を考案した。大抵の文献では Ball が最初に考案したものよりもやや広い意味で多凸函数を定義する。
体 K （これは実数 体 R 複素数 体 C m × n M m ×n K )拡大実数 値函数 f : M m ×n K ) → R R ∪ {±∞多凸 (polyconvex) であるとは、
A
↦
f
(
A
)
{\displaystyle A\mapsto f(A)}
が行列 A のすべての小行列式を変数として凸 であること[ 1]
f
(
A
)
=
F
(
adj
1
A
,
adj
2
A
,
…
,
adj
r
A
)
{\displaystyle f(A)=F(\operatorname {adj} _{1}A,\operatorname {adj} _{2}A,\ldots ,\operatorname {adj} _{r}A)}
が 1 ≤ p ≤ min{m , n } なる任意の p に対する p × p 小行列式 たちに関する、K 上の凸函数となることを言う[ 2] adjp A は A の p × p adj1 A は A の m × n 要素 全て）、r = min{m , n F は
τ
(
m
,
n
)
:=
∑
p
=
1
r
σ
(
p
)
,
σ
(
p
)
:=
(
m
p
)
(
n
p
)
=
m
!
n
!
(
p
!
)
2
(
m
−
p
)
!
(
n
−
p
)
!
{\displaystyle \tau (m,n):=\sum _{p=1}^{r}\sigma (p),\quad \sigma (p):={m \choose p}{n \choose p}={\frac {m!n!}{(p!)^{2}(m-p)!(n-p)!}}}
と置けば τ(m ,n ) 個の引数を持つ拡張実数値函数 F : K τ(m ,n ) → R
多凸性は、凸性よりも弱い性質である。例えば、次で与えられる函数 f は多凸であるが、凸ではない。
f
(
A
)
=
{
1
det
(
A
)
,
det
(
A
)
>
0
;
+
∞
,
det
(
A
)
≤
0.
{\displaystyle f(A)={\begin{cases}{\frac {1}{\det(A)}},&\det(A)>0;\\+\infty ,&\det(A)\leq 0.\end{cases}}}
Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations . Texts in Applied Mathematics 13 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 353. ISBN 0-387-00444-0 Ball, J. M. (1977), “Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity”, Arch. Rational Mech. Anal. 63 : pp. 337-403 Dacorogna, Bernard (2008) [1989], Direct methods in the calculus of variation ISBN 978-0-387-35779-9 , http://caa.epfl.ch/livres/DirectMethods.pdf 
