数学 において、完全非連結群 (totally disconnected group)とは完全非連結な位相群 のことである。 完全非連結群はハウスドルフ である。
局所コンパクト な完全非連結群（td-型の群 、 局所副有限群、t.d.群 , TDLC群[ 4] コンパクト である場合、すなわち副有限群 である場合については十分に研究されてきたが、長い間その一般的な場合である局所コンパクトな完全非連結群についてはあまり知られていなかった。1930年代では「局所コンパクトな完全非連結群はコンパクト開部分群 をもつ」というvan Dantzig の定理が知られているのみであった。 局所コンパクトな完全非連結群に関する画期的な業績は1994年になされた;George Wills は、任意の局所コンパクト完全非連結群は"整然部分群"と、"スケール関数"と呼ばれる整然部分群の自己同型写像上の特殊な関数（定義は後述）を持つことを示し、これによって局所的な完全非連結群の構造に関する知識が向上した。完全非連結群の大域的な構造に関する進歩は2011年にCapraceとMonodによって得られ、その中でも特性単純群 とそのネーター群 の分類は際立ったものである。
局所コンパクト完全非連結群において、単位元の任意の近傍はコンパクト開部分群を含む。逆に、位相群G が「単位元の任意の近傍がコンパクト開部分群を含む」という条件を満たすとき、G は局所コンパクト完全非連結群である。
Gを局所コンパクト完全非連結群 、U をG のコンパクト開部分群、自己同型とする。
次のように定める:
U
+
=
⋂
n
≥
0
α
n
(
U
)
{\displaystyle U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)}
U
−
=
⋂
n
≥
0
α
−
n
(
U
)
{\displaystyle U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)}
U
+
+
=
⋃
n
≥
0
α
n
(
U
+
)
{\displaystyle U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}
U
−
−
=
⋃
n
≥
0
α
−
n
(
U
−
)
{\displaystyle U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})}
U が整然 (tidy) であるとは、
U
=
U
+
U
−
=
U
−
U
+
{\displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}
U
+
+
{\displaystyle U_{++}}
U
−
−
{\displaystyle U_{--}}
U
+
{\displaystyle U_{+}}
α
(
U
+
)
{\displaystyle \alpha (U_{+})}
α
{\displaystyle \alpha }
s
(
α
)
{\displaystyle s(\alpha )}
x
{\displaystyle x}
α
x
{\displaystyle \alpha _{x}}
s
(
x
)
:=
s
(
α
x
)
{\displaystyle s(x):=s(\alpha _{x})}
s
{\displaystyle s}
s
{\displaystyle s}
xがGのコンパクト元ならば
s
(
x
)
=
1
{\displaystyle s(x)=1}
n
{\displaystyle n}
s
(
x
n
)
=
s
(
x
)
n
{\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}
G上のモジュラー関数は
Δ
(
x
)
=
s
(
x
)
s
(
x
−
1
)
−
1
{\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}
スケール関数はHofmannとMukherjaによる予想の証明やHelge Glöcknerによるp進リー群や局所斜体上の線形群の明示的な計算に用いられた。
Borel, Armand; Wallach, Nolan (2000), Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups , Mathematical surveys and monographs, 67 (Second ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0851-1 , MR 1721403 Bushnell, Colin J.; Henniart, Guy (2006), The local Langlands conjecture for GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 335 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-31511-X , ISBN 978-3-540-31486-8 , MR 2234120 Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), “Decomposing locally compact groups into simple pieces”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 150 : 97–128, doi :10.1017/S0305004110000368 , MR 2739075 Cartier, Pierre (1979), “Representations of
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
, in Borel, Armand ; Casselman, William , Automorphic Forms, Representations, and L-Functions , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 33, Part 1 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , pp. 111–155, ISBN 978-0-8218-1435-2 , MR 0546593 , http://www.ams.org/online_bks/pspum331/pspum331-ptI-7.pdf G.A. Willis - The structure of totally disconnected, locally compact groups , Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994) 
