実数値関数

実数値関数（じっすうちかんすう、英: real-valued function）とは、値として実数を与える関数をいう。つまり、定義域のそれぞれの元に対し実数を割り当てる関数のことである。特に、定義域も実数の部分集合であるもの、すなわち実変数の実数値関数を実関数（じつかんすう、英: real function）という^[1]^[2]。

多くの重要な関数空間が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

一般の実数値関数

$X$ を任意の集合とする。 $F (X, R)$ を $X$ から $R$ への関数全体の集合で表すものとする。 $R$ は可換体であるので、 $F (X, R)$ はベクトル空間であり、実数上の結合多元環は、以下のように定義できる。

ベクトル和: $f + g : x \mapsto f (x) + g (x)$
加法単位元: $0 : x \mapsto 0$
スカラーとの積: $cf : x \mapsto cf (x), c \in R$
各点ごとの積: $fg : x \mapsto f (x) g (x)$

また、 $R$ は順序集合であることから、 $F (X, R)$ には以下のような半順序が入る。

\ f\leq g\iff \forall x\colon f(x)\leq g(x).

これによって、 $F (X, R)$ は半順序環（英語版）とある。

可測な実数値関数

ボレル集合の $σ$ -代数は実数上に定義される重要な構造である。 $X$ が $σ$ -代数を持ち、関数 $f$ が、すべてのボレル集合 $B$ に対して、その原像 $f -1 (B)$ が $X$ の $σ$ -代数に属しているとき、 $f$ は可測であるという。この可測関数はまた、うえで説明したようなベクトル空間と代数をつくる。

連続な実数値関数

実数は、位相空間であり完備距離空間である。連続な実数値関数（これは暗黙のうちに $X$ が位相空間であることを主張する）は位相空間や距離空間の理論で重要なものである。極値定理は、コンパクト空間上のすべての連続な実数値関数には（極小、極大にとどまらない大域的な）最小値と最大値が存在することを主張する。