差商に対する平均値の定理

点 x₀, …, x_n における f のラグランジュ補間多項式を P とするとき、ニュートン形を考えれば P の最高次項は ${\textstyle f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dotsb (x-x_{1})(x-x_{0})}$ である。

g ≔ f − P をこの補間の誤差項とすれば、g は x₀, …, x_n という n + 1 個の零点を持つ。ロルの定理をまず g に適用し、さらに g′ に適用し、以下同様に g⁽ⁿ⁻¹⁾ まで適用すれば、g⁽ⁿ⁾ が零点 ξ を持つことが分かる。したがって $${\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!}$$ となり、整理すれば $${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}$$ を得る。