数演算子

量子力学において数演算子（すうえんざんし）、個数演算子（こすうえんざんし）あるいは粒子数演算子（りゅうしすうえんざんし、英: particle number operator）とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}$

数演算子は以下のように定義される。

${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

数演算子${\displaystyle {\hat {N}}}$はエルミート演算子である。

証明
数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$、エルミート演算子の性質${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$と、${\displaystyle (A^{\dagger })^{\dagger }=A}$より、 ${\displaystyle {\hat {N}}^{\dagger }=({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }({\hat {a}}^{\dagger })^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}={\hat {N}}}$

数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}$

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }}$

証明

交換関係の性質として${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$が成り立つ。ここへ${\displaystyle A={\hat {a}}^{\dagger }}$、${\displaystyle B={\hat {a}}}$、${\displaystyle C={\hat {a}}}$を代入すると、 ${\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}},{\hat {a}}]={\hat {a}}^{\dagger }[{\hat {a}},{\hat {a}}]+[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]{\hat {a}}}$ 数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$、交換関係の性質${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}]=0}$、生成消滅演算子の定義${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}$を代入すると、 ${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}$ 2つ目の式についても同様。

数演算子の固有値方程式は、

${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }$

この固有値${\displaystyle N}$は非負である。

証明

固有値方程式${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }$の左から${\displaystyle \langle N|}$をかけると、 ${\displaystyle \langle N|{\hat {N}}|N\rangle =N\langle N|N\rangle }$ 数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$、固有ベクトルの規格化${\displaystyle \langle N|N\rangle =1}$を代入すると、 ${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =N}$ この左辺は ${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}\geq 0}$

数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }$

証明

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}$の両辺に${\displaystyle |N\rangle }$をかけると、 ${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle -{\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle =-{\hat {a}}|N\rangle }$ 左辺第2項を右辺に移項すると、 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle &={\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&={\hat {a}}N|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&=(N-1){\hat {a}}|N\rangle \\\end{aligned}}}$ この式は、${\displaystyle {\hat {N}}}$の固有値${\displaystyle N-1}$に対する固有ベクトル${\displaystyle |N-1\rangle }$が${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }$であることを言っている。 ただし${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }$は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。 ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle =c|N-1\rangle }$ 上述の${\displaystyle ||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}=N}$に代入すると${\displaystyle |c|^{2}=N}$なので、正に選べば ${\displaystyle c={\sqrt {N}}}$ よって ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }$

数演算子の固有値は整数である。

証明

固有値${\displaystyle N}$が整数でないとする。 上述のように、ある固有値${\displaystyle N}$に対する固有ベクトル${\displaystyle |N\rangle }$に消滅演算子を作用させると${\displaystyle |N-1\rangle }$ができる。 ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }$ よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは${\displaystyle N<0}$である${\displaystyle |N\rangle }$が作れてしまい、${\displaystyle N}$の非負性と矛盾する。 固有値${\displaystyle N}$が整数だと、${\displaystyle N=0}$に対する固有ベクトル${\displaystyle |0\rangle }$に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、${\displaystyle N<0}$の${\displaystyle |N\rangle }$が作れないことがわかる。 ${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$ よって${\displaystyle N}$の非負性と整合している。

よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|N\rangle ={\sqrt {N+1}}|N+1\rangle }$

となる。真空状態${\displaystyle |0\rangle }$に生成演算子N回作用させた場合は、

${\displaystyle ({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle ={\sqrt {N!}}|N\rangle }$

よって、

${\displaystyle |N\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle }$

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 |Ψ⟩_ν は1粒子基底状態 |Ψ_i⟩ から成る。

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}$

ここで数演算子を生成消滅演算子 ˆa^†(φ_i), ˆa(φ_i) を用いて以下のように定義する。

${\displaystyle {\hat {N_{i}}}{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})}$

数演算子は以下の性質を持つ。

${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}$

ここで N_i は状態 |ψ_i⟩ の粒子の数である。

証明

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{aligned}}}$ よって ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&={\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\end{aligned}}}$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年10月）

• 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。 
• Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6 
• Second quantization notes by Fradkin

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