普遍包絡代数

（普遍）包絡代数（ふへんほうらくだいすう、英: universal enveloping algebra, 仏: algèbre enveloppante）あるいは（普遍）展開代数とは、任意のリー代数 ${\mathfrak {g}}$ から構成される、ある性質を満たす単位的結合代数 $U({\mathfrak {g}})$ と準同型写像 $i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ の組 $(U({\mathfrak {g}}),i)$ のことをいう。

定義

${\mathfrak {g}}$ を任意のリー代数とする。このとき以下の普遍性質を満たす結合代数 A とリー代数の準同型写像 $i:{\mathfrak {g}}\to A$ の組 $(A,i)$ が存在する（A は交換子積によってリー代数とみる）。任意の結合代数 $A'$ とリー代数準同型写像 $i'\colon {\mathfrak {g}}\to A'$ に対し、結合代数の準同型写像 $f\colon A\to A'$ で、 $f\circ i=i'$ を満たすものが唯一つ存在する。このような $(A,i)$ は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、A を $U({\mathfrak {g}})$ で表す:

構成

${\mathfrak {g}}$ をリー代数、 $T({\mathfrak {g}})$ をそのベクトル空間としてのテンソル代数とする。また、 ${\mathcal {I}}$ を $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\quad (x,y\in {\mathfrak {g}})$ が生成する両側イデアルとする。これによって

U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/{\mathcal {I}}

とする。自然な写像 $T({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})$ を ${\mathfrak {g}}$ に制限して $i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ が定まり、 $(U({\mathfrak {g}}),i)$ は普遍包絡代数になる。