準同型定理

抽象代数学における準同型定理（じゅんどうけいていり、英: fundamental theorem on homomorphisms; 準同型の基本定理（英語版）, fundamental homomorphism theorem）は、与えられた構造をもつ二つの対象の間の準同型が与えられたとき、その準同型の核と像とを関係づける。

準同型定理は同型定理の証明に利用できる。

以下、群の場合に定理の主張を述べるが、同様の主張はモノイド、ベクトル空間、加群、環などについても成立する。

定理 (群に関する準同型定理)

群 G, H および群準同型 f: G → H が与えられたとき、G の正規部分群 K および自然な射影 φ: G → G/K（G/K は剰余群）に対し、K ⊂ ker(f)（f の核）が成り立つならば、群準同型 h: G/K → H が存在して f = h ∘ φ とできる。

この状況を以下の可換図式

で表すことができる。これはすなわち自然な射影 φ が K を単位元に写す G 上の準同型の中でもっとも一般のものであることを言っている。

定理において K = ker(f) と置けばただちに第一同型定理が得られる。

• 商圏 (数学)（英語版）

• Beachy, John A. (1999), “Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)”, Introductory Lectures on Rings and Modules, London Mathematical Society Student Texts, 47, Cambridge University Press, p. 27, ISBN 9780521644075, https://books.google.com/books?id=rnNzivBfgOoC&pg=PA27 .
• Grove, Larry C. (2012), “Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)”, Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, ISBN 9780486142135, https://books.google.com/books?id=C4TByeUh9A4C&pg=PA11 .
• Jacobson, Nathan (2012), “Fundamental theorem on homomorphisms of Ω-algebras”, Basic Algebra II, Dover Books on Mathematics (2nd ed.), Courier Corporation, p. 62, ISBN 9780486135212, https://books.google.com/books?id=hn75exNZZ-EC&pg=PA62 .
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