演算子法 （えんざんしほう）とは数学 に於ける解析学 の問題、特に微分方程式 を代数 的問題（普通は多項式方程式 ）に変換して解く方法である。オリヴァー・ヘヴィサイド の貢献が特に大きいので「ヘヴィサイドの演算子法」とも呼ばれるが、厳密な理論化はその後の数学者たちにより行われた。
関数 に対する微分 や積分 その他の演算の過程を「演算子」（operator。解析学 では作用素 の語を使うこともある）として表現する発想には長い歴史があり、ゴットフリート・ライプニッツ まで遡る。これらの関数に施される演算記号を関数と独立に操作した最初の一人として、数学者でストラスブールの砲兵学校の教授であったルイ・フランソワ・アルボガスト（L. F. A. Arbogast ）がいる。この試みは、便利な記法を開発したフランスの数学者セルヴォワ（F-J. Servois ）によりさらに発展した。セルヴォワに続きハーグリーブ（Charles Heargrave）、ブール（G. Boole）、ブロンウィン（B. Bownin）、カーマイケル（R. Carmicheal）、ドンキン（B. Doukin）、グレーブス（Graves）、マーフィ（R. Murphy）、スポティスウード（W. Spottiswoode ）、シルベスター(Sylvester）といったイギリスの数学者たちが現れた。演算子法の常微分 ・偏微分 方程式への応用に関する論文を最初に著したのはジョージ・ブール （1859年）とロバート・ベル・カーマイケル（R. B. Carmichael ）（1855年）である。この方法は1893年、電磁気 の研究に関連して物理学者オリヴァー・ヘヴィサイド により一気に発展した。当時ヘヴィサイドの方法は厳密でなく、彼の研究は数学者により直ちに発展させられることはなかった。なお、ヘヴィサイド自身は演算子法が数学的な厳密性に欠けるとの批判に対し、「私は消化のプロセスを知らないからといって食事をしないわけではない（"I do not refuse my dinner simply because I do not understand the process of digestion."）」という有名な言葉を残している。
演算子法は1910年を過ぎてから、バーグ（E. J. Berg ）、カーソン（J. R. Carson ）およびブッシュ の貢献により、電気工学 の問題で線形回路 の過渡現象 の計算に応用され始めた。ヘヴィサイドの演算子法が厳密に数学的理論化されたのは、演算子法をラプラス変換 と結び付けたブロムヴィッチ（T. Bromwich ）の研究以降のことである（詳しい説明はJeffreys、Carslaw、MacLachlanの各著書を参照）。
ヘヴィサイド演算子法の別の理論化は、1920年代半ばに積分方程式 の方法（Carsonなど）またはフーリエ変換 （ノーバート・ウィーナー など）を利用してなされた。
1930年代、これらとは別なやり方で演算子法を展開したのが、ポーランドの数学者ヤン・ミクシンスキー である。彼は代数的な方法を用いて演算子法を数学的に正当化した（ミクシンスキーの演算子法 参照）。
演算子法の中心は、微分を関数に施される演算子（作用素）
p
=
d
/
d
t
{\displaystyle p=d/dt}
p
{\displaystyle p}
F
(
p
)
{\displaystyle F(p)}
F
{\displaystyle F}
逆 演算子を既知の関数に施せば解が得られる。
電気回路の理論では、入力に対する応答を求めることが問題となる。線形性 により、単位階段関数 、すなわち
H
(
t
<
0
)
=
0
{\displaystyle H(t<0)=0}
H
(
t
>
0
)
=
1
{\displaystyle H(t>0)=1}
H
(
t
)
{\displaystyle H(t)}
p
y
=
H
(
t
)
{\displaystyle py=H(t)}
y
=
p
−
1
H
=
∫
0
t
H
(
u
)
d
u
=
t
H
(
t
)
{\displaystyle y=p^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)du=tH(t)}
となる。この例から、
p
−
1
{\displaystyle p^{-1}}
p
−
n
{\displaystyle p^{-n}}
n
{\displaystyle n}
p
−
n
H
(
t
)
=
t
n
n
!
H
(
t
)
{\displaystyle p^{-n}H(t)={\frac {t^{n}}{n!}}H(t)}
である。すると
p
p
−
a
H
(
t
)
=
1
1
−
a
p
H
(
t
)
{\displaystyle {\frac {p}{p-a}}H(t)={\frac {1}{1-{\frac {a}{p}}}}H(t)}
には級数展開 を用いた意味付けを行うことができる。つまり
1
1
−
a
p
H
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
p
−
n
H
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
t
n
n
!
H
(
t
)
=
e
a
t
H
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {a}{p}}}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}p^{-n}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}t^{n}}{n!}}H(t)=e^{at}H(t)}
と考えるということである。このことはさらに、部分分数分解 を通して、演算子
p
{\displaystyle p}
H
(
t
)
{\displaystyle H(t)}
1
F
(
p
)
{\displaystyle {\frac {1}{F(p)}}}
1
F
(
p
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
p
−
n
{\displaystyle {\frac {1}{F(p)}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}p^{-n}}
という形の級数展開を持つならば、これは直接に
1
F
(
p
)
H
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
t
n
n
!
H
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{F(p)}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}H(t)}
という意味を持つものと理解できる。
上記のような規則を適用すると、任意の微分方程式を解くことが、純粋に代数的な問題に還元される。
ヘヴィサイドはさらに進んで、
p
{\displaystyle p}
冪 を定義し、演算子法と分数階微積分学 の関係を確立した。
テイラー展開 を用いると、
e
a
p
f
(
t
)
=
f
(
t
+
a
)
{\displaystyle e^{ap}f(t)=f(t+a)}
差分方程式 や電気工学の遅延信号 の問題にも適用することができる。
LF Arbogast, Du calcul des dérivations
Servois Annales de Gergonne 5 , 93 (1814).
Terquem and Gerono, Nouvelles Annales de Mathematiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale 14 , 83 (1855) [Some historical references on the precursor work till Carmichael].
G Boole , A treatise on differential equations RB Carmichael A treatise on the calculus of operations
O Heaviside Proc. Roy. Soc. (London) 52 . 504-529 (1893), 54 105-143 (1894). [Original articles]JR Carson, Bull. Amer. Math. Soc. 32 , 43 (1926).
JR Carson Electric Circuit Theory and the Operational Calculus
N Wiener Math. Ann. 95 , 557 (1926).H Jeffreys Operational Methods In Mathematical Physics Internet Archive
HW March Bull. Amer. Math. Soc. 33 , 311 (1927), 33 , 492 (1927).
EJ Berg Heaviside's Operational Calculus
V Bush, Operational Circuit analysis (J. Wiley & Sons, 1929). with an appendix by N. Wiener.
HT Davis, The theory of linear operators
NW Mc Lachlan, Modern operational calculus
HS Carslaw, Operational Methods in Applied Mathematics
B van der Pol, H Bremmer, Operational calculus (Cambridge University Press, 1950)
RV Churchill, Operational Mathematics (McGraw-Hill, 1958).
J Mikusinski , Operational Calculus (Elsevier, Netherlands, 1960).
吉田耕作 『演算子法 一つの超函数論』東京大学出版会〈UP応用数学選書 5〉、1982年2月。ISBN 978-4-13-064065-7 。 Kosaku Yosida (1984). Operational Calculus - A Theory of Hyperfunctions . Applied Mathematical Sciences, Vol. 55. Springer. ISBN 0-387-96047-3 A.N. Kolmogorov , A.P. Yushkevich , Mathematics of the 19th Century , (Birkhauser ,1992)
